阅读与思考向量的运算(运算律)与图形性质VIP免费

2.3.1平面向量基本定理【情境导学】在物理学中我们知道，力是一个向量，力的合成就是向量的加法运算．而且力是可以分解的，任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和．将这种力的分解拓展到向量中来，会产生什么样的结论呢？探究点一平面向量基本定理的提出思考1如图所示，e1，e2是两个不共线的向量，试用e1，e2表示向量AB→，CD→，EF→，GH→，HG→，a.答通过观察，可得：AB→＝2e1＋3e2，CD→＝－e1＋4e2，EF→＝4e1－4e2，GH→＝－2e1＋5e2，HG→＝2e1－5e2，a＝－2e1.思考2根据上述分析，平面内任一向量a都可以由这个平面内两个不共线的向量e1，e2表示出来，从而可形成一个定理．你能完整地描述这个定理的内容吗？那么对于这一平，共线向量是同一平面内的两个不、如果21ee使，、有且只有一对实数，面内的任一向量21aa11e.e22有向量的一组叫做表示这一平面内所、其中不共线的向量21ee基底.平面向量基本定理思考3上述定理称为平面向量基本定理，不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.那么同一平面内可以作基底的向量有多少组？不同基底对应向量a的表示式是否相同？平面向量的基底唯一吗？2答同一平面内可以作基底的向量有无数组，不同基底对应向量a的表示式不相同．平面向量的基底不唯一．只要两个向量不共线，都可以作为平面的一组基底．探究点二平面向量基本定理的证明思考1证明定理中λ1，λ2的存在性．如图，e1，e2是平面内两个不共线的向量，a是这一平面内任一向量，a能否表示成λ1e1＋λ2e2的形式，请通过作图探究a与e1、e2之间的关系．答如图所示，在平面内任取一点O，作OA→＝e1，OB→＝e2，OC→＝a，过点C分别作平行于OB，OA的直线，交直线OA于点M，交直线OB于点N，有OM→＝λ1OA→，ON→＝λ2OB→， OC→＝OM→＋ON→，∴a＝λ1e1＋λ2e2.思考2证明定理中λ1，λ2的唯一性．如果e1、e2是同一平面内的两个不共线的向量，a是和e1、e2共面的任一向量，且存在实数λ1、λ2使a＝λ1e1＋λ2e2，证明λ1，λ2是唯一确定的．(提示：利用反证法)答假设存在另一组实数λ′1，λ′2也能使a＝λ′1e1＋λ′2e2成立，则λ′1e1＋λ′2e2＝λ1e1＋λ2e2.∴(λ′1－λ1)e1＋(λ′2－λ2)e2＝0. e1、e2不共线，∴λ′1－λ1＝λ′2－λ2＝0，∴λ′1＝λ1，λ′2＝λ2.∴使a＝λ1e1＋λ2e2成立的实数对λ1，λ2是唯一的．探究点三向量的夹角思考1已知a、b是两个非零向量，过点O如何作出它们的夹角θ？两个非零向量夹角的范围是怎样规定的？确定两个向量夹角时，要注意什么事项？答过点O作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB＝θ，就是a与b的夹角．两个非零向量夹角的范围是0°≤θ≤180°，确定两个向量夹角时要注意先使向量的始点相同，再确定大小．向量的夹角两个非零向量a和b，作，，则叫做向量a和b的夹角．aOAbOBAOB)1800(OABabOABba当，0OABba当，180OABab当，90ba记作已知a与b同向；a与b反向；a与b垂直.思考2在等边三角形ABC中，试写出下面向量的夹角？a.AB→、AC→b.AB→、CA→c.BA→、CA→d.AB→、BA→答a.AB→与AC→的夹角为60°；b.AB→与CA→的夹角为120°；c.BA→与CA→的夹角为60°；d.AB→与BA→的夹角为180°思考3如图，△ABC中，与AB→的夹角与CA→与AB→的夹角是否相同？答不相同，它们互补.AC→与AB→的夹角为∠CAB，而CA→与AB→的夹角为π－∠CAB.1212()2.53.eeee�已知向量、如图，求作向量练习：121.2.53.OOAeOBe�作法：任取一点，作，2..OACB作平行四边形.OC�则就是所求作的向量1e�2e�oABC12.5e�23e�.教科书P95例1如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是________．(填对应说法的序号)①λe1＋μe2(λ、μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个；③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；④若存在实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.②③变1设e1、e2是不共线的两个向量，给出下列四组...