1.2.3简单复合函数的导数课时目标能求形如f(ax＋b)形式的复合函数的导数．复合函数的概念一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．复合函数的求导法则若y＝f(u)，u＝ax＋b，则y′x＝y′u·u′x，即y′x＝y′u·a一、填空题1．函数y＝2的导数为______________．2．函数y＝ln的导数是____________．3．设f(x)＝x3，则f(a－bx)的导数等于________.4．若函数f(x)＝exsinx，则此函数图象在点(4，f(4))处的切线的倾斜角θ为________(填“锐角”“钝角”“直角”)．5．曲线y＝e在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________．6．函数y＝的导数等于________．7．设f(x)＝且f′(1)＝2，则a＝________.8．函数y＝(2010－8x)8的导数为__________．二、解答题9．求下列函数的导数：(1)y＝(1＋2x2)8；(2)y＝；(3)y＝sin2x－cos2x;(4)y＝cosx2.10.求下列函数的导数：(1)y＝esinx；(2)y＝log2(2x2＋3x＋1)．能力提升11．设函数f(x)＝cos(x＋φ)(0<φ<π)．若f(x)＋f′(x)是奇函数，则φ＝________.12．设y＝8sin3x，求曲线在点P处的切线方程．1．求复合函数的导数要处理好以下环节：(1)中间变量的选择应是基本函数结构；(2)关键是正确分析函数的复合层次；(3)一般是把一部分表达式作为一个整体；(4)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导；1(5)最后要把中间变量换成自变量的函数．2．复合函数的求导法则的理解法则可简单叙述成：复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数．答案作业设计1.解析y′＝2′＝2·＝.2．－解析y′＝x·′＝x·＝－.3．－3b(a－bx)2解析∵y＝f(a－bx)＝(a－bx)3，∴y′＝[(a－bx)3]′＝3(a－bx)2·(a－bx)′＝－3b(a－bx)2.4．钝角解析∵f′(x)＝ex(sinx＋cosx)＝2exsin，∴f′(4)＝tanθ＝2e4sin<0，∴θ为钝角．5．e2解析y′＝e，曲线在点(4，e2)处的切线斜率为e2，所以切线方程为：y－e2＝e2(x－4)．令x＝0，得y＝－e2，令y＝0，得x＝2，所以与坐标轴所围三角形的面积S△＝×2×e2＝e2.6．－解析y′＝′＝[(1＋5x)－3]′＝5×(－3)(1＋5x)－4＝－15(1＋5x)－4＝－.7．2解析∵f′(x)＝，∴f′(x)＝.∴f′(1)＝，又f′(1)＝2.∴＝2，解得a＝2.8．64(8x－2010)7解析y′＝[(2010－8x)8]′＝8(2010－8x)7·(2010－8x)′＝－64(2010－8x)7＝64(8x－2010)7.9．解(1)设y＝u8，u＝1＋2x2，∴y′＝(u8)′(1＋2x2)′＝8u7·4x＝8(1＋2x2)7·4x＝32x(1＋2x2)7.(2)设y＝u－，u＝1－x2，则y′＝(u－)′(1－x2)′＝·(－2x)＝x(1－x2)－.(3)y′＝(sin2x－cos2x)′＝(sin2x)′－(cos2x)′＝2cos2x＋2sin2x＝2sin.(4)设y＝cosu，u＝x2，则y′＝(cosu)′·(x2)′＝(－sinu)·2x＝(－sinx2)·2x＝－2xsinx2.10．解(1)设y＝eu，u＝sinx，则y′＝(eu)′(sinx)′＝eu·cosx＝esinx·cosx.(2)设y＝log2u，u＝2x2＋3x＋1，则y′＝(log2u)′·(2x2＋3x＋1)′＝·(4x＋3)＝·(4x＋3)＝.11.解析∵f(x)＝cos(x＋φ)，2∴f′(x)＝－sin(x＋φ)．∴f(x)＋f′(x)＝cos(x＋φ)－sin(x＋φ)＝2sin.∵f(x)＋f′(x)为奇函数，∴f(0)＋f′(0)＝0.∴2sin＝0.∴φ＋＝kπ，k∈Z.又∵φ∈(0，π)，∴φ＝.12．解y′＝(8sin3x)′＝8(sin3x)′＝24sin2x(sinx)′＝24sin2xcosx，∴曲线在点P处的切线的斜率k＝f′＝24sin2·cos＝3.∴适合题意的曲线的切线方程为y－1＝3，即6x－2y－π＋2＝0.3
