3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示A级：基础巩固练一、选择题1．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若AB＝3i，AD＝2j，AA1＝5k，则向量AC1在基底{i，j，k}下的坐标是()A．(1,1,1)B.C．(3,2,5)D．(3,2，－5)答案C解析∵AC1＝AB＋BC＋CC1＝AB＋AD＋AA1＝3i＋2j＋5k，∴向量AC1在基底{i，j，k}下的坐标是(3,2,5)．故选C.2．在三棱柱ABC－A1B1C1中，D是面BB1C1C的中心，且AA1＝a，AB＝b，AC＝c，则A1D＝()A.a＋b＋cB.a－b＋cC.a＋b－cD．－a＋b＋c答案D解析如图，连接C1D，则A1D＝A1C1＋C1D＝A1C1＋(C1B1＋C1C)＝A1C1＋(A1B1－A1C1＋C1C)＝c＋(b－c－a)＝－a＋b＋c.13.已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(8,6,4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则点A在基底{i，j，k}下的坐标是()A．(12,14,10)B．(10,12,14)C．(14,12,10)D．(4,3,2)答案A解析由题意，OA＝8a＋6b＋4c＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)＝12i＋14j＋10k，所以点A在基底{i，j，k}下的坐标是(12,14,10)．4．若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，又d＝αa＋βb＋γc，则α，β，γ分别为()A.，－1，－B.，1，C．－，1，－D.，1，－答案A解析由d＝αa＋βb＋γc，得d＝(α＋β＋γ)e1＋(α＋β－γ)e2＋(α－β＋γ)e3，又d＝e1＋2e2＋3e3，∴解得5．设命题p：a，b，c是三个非零向量，命题q：{a，b，c}为空间的一个基底，则命题p是命题q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析当三个非零向量a，b，c共面时，a，b，c不能构成空间的一个基底，但是当{a，b，c}为空间的一个基底时，必有a，b，c都是非零向量，因此p\s\up0(\a\vs4\al())⇒q，而q⇒p，故命题p是命题q的必要不充分条件．6．正方体ABCD－A′B′C′D′中，O1，O2，O3分别是AC，AB′，AD′的中点，以{AO1，AO2，AO3}为基底，AC′＝xAO1＋yAO2＋zAO3，则x，y，z的值是()A．x＝y＝z＝1B．x＝y＝z＝C．x＝y＝z＝D．x＝y＝z＝2答案A解析如图，AC′＝AB＋AD＋AA′＝(AB＋AD)＋(AA′＋AB)＋(AD＋AA′)＝AO1＋AO2＋AO3，又AC′＝xAO1＋yAO2＋zAO3，∴x＝y＝z＝1.二、填空题7．已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＝________，y＝________.答案1－12解析因为m与n共线，所以存在实数λ，使m＝λn，即a－b＋c＝λxa＋λyb＋λc，于是有解得8．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是底面A1C1和侧面CD1的中心，若EF＋λA1D＝0(λ∈R)，则λ＝________.答案－解析如图，连接A1C1，C1D，则E在A1C1上，F在C1D上，易知EF綊A1D，∴EF＝A1D，即EF－A1D＝0，又∵EF＋λA1D＝0.∴λ＝－.9．已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为底面A1B1C1D1的中心，a＝AA1，b＝AB，c＝AD，AE＝xa＋yb＋zc，则x＝________，y＝________，z＝________.答案21解析如图，AE＝AA1＋A1E＝AA1＋(AB＋AD)＝2a＋b＋c＝xa＋yb＋zc.所以x＝2，y＝1，z＝.三、解答题10．如图所示，M，N分别是四面体O－ABC的边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点，用向量OA，OB，OC表示向量OP和OQ.解OP＝OM＋MP＝OA＋MN＝OA＋(ON－OM)＝OA＋＝OA＋×(OB＋OC)＝OA＋OB＋OC；OQ＝OM＋MQ＝OA＋MN＝OA＋(ON－OM)＝OA＋＝OA＋×(OB＋OC)＝OA＋OB＋OC.B级：能力提升练1．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E是上底面A1B1C1D1的中心，求下列各式中的x，y，z的值．3(1)BD1＝xAD＋yAB＋zAA1；(2)AE＝xAD＋yAB＋zAA1.解(1)因为BD1＝BD＋DD1＝BA＋BC＋DD1＝－AB＋AD＋AA1，且BD1＝xAD＋yAB＋zAA1，所以x＝1，y＝－1，z＝1.(2)因为AE＝AA1＋A1E＝AA1＋A1C1＝AA1＋(A1B1＋A1D1)＝AA1＋A1B1＋A1D1＝AD＋AB＋AA1，且AE＝xAD＋yAB＋zAA1，所以x＝，y＝，z＝1.2．如下图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.(1)证明：A，E，C1，F四点共面；(2)若EF＝xAB＋yAD＋zAA1，求x＋y＋z.解(1)证明：连接AC1，∵AC1＝AB＋AD＋AA1＝AB＋AD＋AA1＋AA1＝＋＝AB＋BE＋AD＋DF＝AE＋AF，∴A，E，C1，F四点共面．(2)∵EF＝AF－AE＝AD＋DF－(AB＋BE)＝AD＋DD1－AB－BB1＝－AB＋AD＋AA1，∴x＝－1，y＝1，z＝，∴x＋y＋z＝.45
