学业分层测评(十七)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知点F1(0，－13)，F2(0,13)，动点P到F1与F2的距离之差的绝对值为26，则动点P的轨迹方程为()A．y＝0B．y＝0(|x|≥13)C．x＝0(|y|≥13)D．以上都不对【解析】 ||PF1|－|PF2||＝|F1F2|，∴点P的轨迹是分别以F1，F2为端点的两条射线．【答案】C2．已知方程－＝1表示双曲线，则k的取值范围是()A．－1＜k＜1B．k＞0C．k≥0D．k＞1或k＜－1【解析】 方程－＝1表示双曲线，∴(1＋k)(1－k)＞0，∴－1＜k＜1.【答案】A3．若双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于()A．11B．9C．5D．3【解析】根据双曲线的定义求解．由题意知a＝3，b＝4，∴c＝5.由双曲线的定义有||PF1|－|PF2||＝|3－|PF2||＝2a＝6，∴|PF2|＝9.【答案】B4．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在双曲线上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝()A.B．C.D．【解析】由题意可知，a＝＝b，∴c＝2.设|PF1|＝2x，|PF2|＝x，∴|PF1|－|PF2|＝x＝2，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，|F1F2|＝4.利用余弦定理有cos∠F1PF2＝＝.【答案】C5．已知点F1(－，0)，F2(，0)，动点P满足|PF2|－|PF1|＝2，当点P的纵坐标为时，点P到坐标原点的距离是()A.B．C.D．2【解析】 动点P满足|PF2|－|PF1|＝2＜2为定值，∴P点轨迹为双曲线的左支，方程为x2－y2＝1(x≤－1)．当y＝时，x2＝y2＋1＝，∴＝＝【答案】C1二、填空题6．若双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点坐标是(0,3)，则实数k的值为________．【解析】因为双曲线焦点在y轴上，所以k＜0，所以双曲线的标准方程为－＝1，且－－＝32＝9，解得k＝－1.【答案】－17．若椭圆＋＝1(m＞n＞0)和双曲线－＝1(a＞0，b＞0)有相同的焦点F1，F2，P是它们的一个公共点，则|PF1|·|PF2|＝________.【导学号：32550085】【解析】 P是椭圆＋＝1上的点，焦点为F1，F2，∴|PF1|＋|PF2|＝2.①又 P是双曲线－＝1上的点，焦点为F1，F2，∴||PF1|－|PF2||＝2.②①2－②2，得4|PF1|·|PF2|＝4m－4a，∴|PF1|·|PF2|＝m－a.【答案】m－a8．P为双曲线x2－＝1右支上一点，M、N分别是圆(x＋4)2＋y2＝4和圆(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为________．【解析】设双曲线的两个焦点为F1(－4,0)、F2(4,0)，则F1、F2为两圆的圆心，又两圆的半径分别为r1＝2，r2＝1，则|PM|≤|PF1|＋2，|PN|≥|PF2|－1，故|PM|－|PN|≤(|PF1|＋2)－(|PF2|－1)＝|PF1|－|PF2|＋3＝2a＋3＝5.【答案】5三、解答题9.如图332，已知定圆F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，定圆F2：x2＋y2－10x＋9＝0，动圆M与定圆F1、F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程．图332【解】 圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，∴圆心F1(－5,0)，半径r1＝1. 圆心F2：(x－5)2＋y2＝42，∴圆心F2(5,0)，半径r2＝4.设动圆M的半径为R，则有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4，∴|MF2|－|MF1|＝3＜|F1F2|.∴M点轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线(左支)，且a＝，c＝5.∴双曲线方程为x2－y2＝1.10．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点．(1)求双曲线的标准方程；(2)若点M在双曲线上，F1、F2为左、右焦点，且|MF1|＋|MF2|＝6，试判别△MF1F2的形状．【解】(1)椭圆方程可化为＋＝1，焦点在x轴上，且c＝＝，故设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则有解得a2＝3，b2＝2，所以双曲线的标准方程为－＝1.(2)不妨设M点在右支上，则有|MF1|－|MF2|＝2，又|MF1|＋|MF2|＝6，2故解得|MF1|＝4，|MF2|＝2，又|F1F2|＝2，因此在△MF1F2中，|MF1|边最长，而cos∠MF2F1＝＜0，所以∠MF2F1为钝角，故△MF1F2为钝角三角形．[能力提升]1．已知F1(－3,0)，F2(3,0)，满足条件|PF1|－|PF2|＝2m－1的动点P的轨迹是双曲线的一支．下列数据：①2；②－1；③4；④－3；⑤，则m可以是()A．①②B．①③C．①②⑤D．②④【解析】由双曲线定义得∴－＜m＜且m≠.故选A.【答案】A2．已知F1，F2分别为双曲线－＝1的左、右焦点，P(3，1)为双曲线内一点，点A在双曲线的右支上，则|AP|＋|AF2|的最小值为()A.＋4B．－4C.－2D．＋2【解析】因为|AP|＋|AF2|＝|AP|＋|AF1|－2，所以要求|AP|＋|AF2|的最小值，只需求|AP|...
