通州区2014届高三附加题冲刺训练（四）（金沙中学提供）21．【选做题】解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21B．选修4—2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵M＝．（1）求矩阵M的逆矩阵；（2）求矩阵M的特征值及特征向量．21C．选修4—4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）过点作倾斜角为的直线与曲线交于不同的两点，求的取值范围．【必做题】解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）已知性质：若是有理数，则是有理数．利用上述性质或其他方法证明：（1）是无理数；（2）是无理数；（3）是无理数．123．（本小题满分10分）已知函数．（1）若函数在处取得极值，求实数的值；（2）在（1）的条件下，设函数．①试确定的单调区间；②求证：参考答案1．解：(1)设M－1＝.，则＝＝，∴解得∴M－1＝.(2)矩阵A的特征多项式为f(x)＝＝(λ－2)·(λ－4)－3＝λ2－6λ＋5，令f(λ)＝0，得矩阵M的特征值为1或5，当λ＝1时，由二元一次方程得x＋y＝0，令x＝1，则y＝－1，2所以特征值λ＝1对应的特征向量为α1＝；当λ＝5时，由二元一次方程得3x－y＝0，令x＝1，则y＝3，所以特征值λ＝5对应的特征向量为α2＝.2．解：设直线的参数方程为，代人方程得，由，，所以3．证明：（1）反设是有理数。令，则是有理数，矛盾。是无理数；（2）由，知为无理数；（3）反设是有理数，则可用数学归纳法证明：是有理数，而是无理数，矛盾。4．解：（1），由得：，，又时，，在处取得极值，；（2）①在（1）的条件下，，，3的单调增区间为，单调减区间为；②由①得，时，，即时，，即．4
