高中数学电子题库第三章§2导数的概念及其几何意义北师大版选修1-1一直线运动的物体，从时间t到t＋Δt时，物体的位移为Δs，那么lim为()A．在t时刻该物体的瞬时速度B．当时间为Δt时物体的瞬时速度C．从时间t到t＋Δt时物体的平均速度D．以上说法均错误解析：选A.根据导数的概念可知，lim表示瞬时变化率，即t时刻该物体的瞬时速度．(2012·宝鸡检测)已知函数f(x)＝x3－x在x＝2处的导数为f′(2)＝11，则()A．f′(2)是函数f(x)＝x3－x在x＝2时对应的函数值B．f′(2)是曲线f(x)＝x3－x在点x＝2处的割线斜率C．f′(2)是函数f(x)＝x3－x在x＝2时的平均变化率D．f′(2)是曲线f(x)＝x3－x在点x＝2处的切线的斜率答案：D(2012·西安质检)函数y＝在x＝1处的导数为________．解析：作出函数y＝的图像如图．由导数的几何意义可知，函数y＝在x＝1处的导数即为半圆在点P(1,)处的切线的斜率．∴kl＝－＝－＝－.答案：－已知函数y＝f(x)的图像在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________．解析：f(1)＝＋2＝，f′(1)＝，∴f(1)＋f′(1)＝3.答案：3[A级基础达标]1已知函数y＝f(x)的图像如图，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是()A．f′(xA)＞f′(xB)B．f′(xA)＜f′(xB)C．f′(xA)＝f′(xB)D．不能确定解析：选B.f′(xA)和f′(xB)分别表示函数图像在点A、B处的切线斜率，故f′(xA)＜f′(xB)．(2012·上饶检测)函数y＝3x2在x＝1处的导数为()A．2B．3C．6D．12解析：选C.f′(1)＝lim＝lim＝6.设f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a等于()A．2B．－2C．3D．－3解析：选A.∵＝＝a，∴f′(1)＝a，又f′(1)＝2，∴a＝2.曲线y＝f(x)＝2x－x3在点(1，1)处的切线方程为________．解析：∵f′(1)＝lim＝－1，∴曲线在(1，1)处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.答案：x＋y－2＝0函数y＝x2在x＝________处的导数值等于其函数值．解析：y＝f(x)＝x2在x＝x0处的导数值为f′(x0)＝lim＝lim(Δx＋2x0)＝2x0.由2x0＝x，解得x0＝0或x0＝2.答案：0或2(2012·南昌调研)若一物体的运动方程为s＝3t2＋2，求此物体在t＝1时的瞬时速度．解：lim＝lim＝lim＝lim(6＋3Δt)＝6.所以物体在t＝1时的瞬时速度是6.[B级能力提升]设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于()A．1B.2C．－D．－1解析：选A.令f(x)＝y＝ax2，则2＝k＝f′(1)＝lim＝2a，故a＝1.如图所示，单位圆中弧AB的长为x，f(x)表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的2倍，则函数y＝f(x)的图像是()解析：选D.不妨设A固定，B从A点出发绕圆周旋转一周，刚开始时x很小，即弧AB长度很小，这时给x一个改变量Δx，那么弧AB与弦AB所围成的弓形面积的改变量非常小，即弓形面积的变化较慢；当弦AB接近于圆的直径时，同样给x一个改变量Δx，那么弧AB与弦AB所围成的弓形面积的改变量将较大，即弓形面积的变化较快；从直径的位置开始，随着B点的继续旋转，弓形面积的变化又由变化较快变为越来越慢．由上可知函数y＝f(x)的图像应该是首先比较平缓，然后变得比较陡峭，最后又变得比较平缓，对比各选项知D正确．(2012·宜春质检)在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为________．解析：设P点的坐标为(x0，y0)．y′＝lim＝lim＝3x2－10.已知曲线C在点P处的切线的斜率kP＝2，则3x－10＝2，解得x0＝±2，∵点P在第二象限内，∴x0＝－2.又点P在曲线C上，则y0＝(－2)3－10×(－2)＋3＝15，∴点P的坐标为(－2，15)．答案：(－2，15)(2012·榆林调研)已知曲线y＝x3上一点P，如图所示．(1)求曲线在点P处的切线的斜率；(2)求曲线在点P处的切线方程．解：(1)因为y＝x3，所以y′＝＝lim＝lim＝lim[3x2＋3x·Δx＋(Δx)2]＝x2，∵点P的坐标为，所以曲线y＝x3在点P处的切线的斜率为4.(2)曲线y＝x3在点P处的切线方程是y－＝4(x－2)，3即12x－3y－16＝0.(创新题)已知曲线C的方程为y＝x3.(1)求曲线C在横坐标为1的点处的切线方程；(2)试判断(1)中的切线与曲线C是否还有其他公共点．解：(1)将x＝1代入曲线C的方程得切点坐标为(1，1)，故切线的斜率k＝lim＝lim＝lim[3＋3Δx＋(Δx)2]＝3，∴切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.(2)由消去y，整理得(x－1)(x2＋x－2)＝0，解得x1＝1，x2＝－2，从而所求公共点为(1，1)，(－2，－8)．说明切线与曲线C的公共点除了切点外，还有另外的点．4
