1.1.2导数的概念VIP专享VIP免费

选修2-2导数概念一、选择题1．如果质点A按照规律s＝3t2运动，则在t0＝3时的瞬时速度为()A．6B．18C．54D．81[答案]B[解析]∵s(t)＝3t2，t0＝3，∴Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝3(3＋Δt)2－3·32＝18Δt＋3(Δt)2∴＝18＋3Δt.∴lim＝lim(18＋3Δt)＝18，故应选B.2．已知f(x)＝x2－3x，则f′(0)＝()A．Δx－3B．(Δx)2－3ΔxC．－3D．0[答案]C[解析]f′(0)＝lim＝lim＝lim(Δx－3)＝－3.故选C.3．(2014·合肥一六八中高二期中)若可导函数f(x)的图象过原点，且满足lim＝－1，则f′(0)＝()A．－2B．－1C．1D．2[答案]B[解析]∵f(x)图象过原点，∴f(0)＝0，∴f′(0)＝lim＝lim＝－1，∴选B.4．质点M的运动规律为s＝4t＋4t2，则质点M在t＝t0时的速度为()A．4＋4t0B．0C．8t0＋4D．4t0＋4t[答案]C[解析]Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝4(Δt)2＋4Δt＋8t0Δt，＝4Δt＋4＋8t0，lim＝lim(4Δt＋4＋8t0)＝4＋8t0.5．已知f(x)＝，且f′(m)＝－，则m的值等于()A．－4B．2C．－2D．±2[答案]D[解析]f′(x)＝lim＝－，于是有－＝－，m2＝4，解得m＝±2.6．某物体做直线运动，其运动规律是s＝t2＋(t的单位是秒，s的单位是米)，则它在4秒末的瞬时速度为()A．米/秒B．米/秒C．8米/秒D．米/秒[答案]B[解析]∵＝＝＝Δt＋8－.∴lim＝8－＝.二、填空题7．已知函数f(x)＝x＋，f′(1)＝－2，则k＝________.[答案]3[解析]Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)＋－1－k＝Δx－＝1－∵f′(1)＝－2，∴lim＝1－k＝－2，∴k＝3.8．已知y＝，则y′|x＝1＝________.[答案][解析]由题意知Δy＝－＝－，∴＝.∴y′|x＝1＝lim＝lim＝.9．某物体做匀速运动，其运动方程是s＝vt＋b，则该物体在运动过程中其平均速度与任何时刻的瞬时速度关系是________．[答案]相等[解析]v0＝lim＝lim＝lim＝lim＝v.三、解答题10．下面是利用导数的定义求函数f(x)＝在x＝2处的导数的解题过程：因为Δy＝－＝－2，＝，所以f′(2)＝lim＝lim＝0.试分析解题过程是否正确，如不正确请指出错误，并加以纠正．[解析]解答过程有错误，最后一步不能直接得到0，因为分母为0时，无意义．正解：因为Δy＝－＝－2，＝＝＝.所以f′(2)＝lim＝lim＝.一、选择题11．(2014·枣阳一中，襄州一中，宜城一中，曾都一中期中联考)在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(m)与起跳后的时间t(s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，则瞬时速度为0m/s的时刻是()A．sB．sC．sD．s[答案]A[解析]h′(t)＝－9.8t＋6.5，由h′(t)＝0得t＝，故选A.12．设f(x)＝，则lim等于()A．－B．C．－D．[答案]C[解析]lim＝lim＝－lim＝－.[点评]若令x－a＝Δx，则当x→a时，Δx→0，∴lim＝lim＝lim＝lim＝－.13．(2013·北师大附中期中)已知f′(x0)＝a，则lim的值为()A．－2aB．2aC．aD．－a[答案]B[解析]∵f′(x0)＝lim＝a，∴lim＝lim＝lim＋lim＝＋＝2a，故选B.二、填空题14．函数y＝x＋在x＝1处的导数是________．[答案]0[解析]∵Δy＝－＝Δx－1＋＝，∴＝.∴y′|x＝1＝lim＝0.15．球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为______________________．[答案][解析]∵Δy＝π×23－π×13＝，∴＝＝.三、解答题16．枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果它的加速度是5.0×105m/s2，枪弹从枪口射出时所用时间为1.6×10－3s，求枪弹射出枪口时的瞬时速度．[解析]位移公式为s＝at2，∵Δs＝a(t0＋Δt)2－at＝at0Δt＋a(Δt)2∴＝at0＋aΔt，∴lim＝lim＝at0，已知a＝5.0×105m/s2，t0＝1.6×10－3s，∴at0＝800m/s.所以枪弹射出枪口时的瞬时速度为800m/s.17．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s(t)＝3t－t2.(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度；(3)求t＝0到t＝2时的平均速度．[解析](1)当t＝0时的速度为初速度．在0时刻取一时间段[0,0＋Δt]，即[0，Δt]，∴Δs＝s(Δt)－s(0)＝[3Δt－(Δt)2]－(3×0－02)＝3Δt－(Δt)2，＝＝3－Δt，lim＝lim(3－Δt)＝3.∴物体的初速度为3.(2)取一时间段[2,2＋Δt]，∴Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝[3(2＋Δt)－(2＋Δt)2]－(3×2－22)＝－Δt－(Δt)2，＝＝－1－Δt，lim＝lim(－1－Δt)＝－1，∴当t＝2时，物体的瞬时速度为－1.(3)当t∈[0,2]时，Δt＝2－0＝2.Δs＝s(2)－s(0)＝(3×2－22)－(3×0－02)＝2.v＝＝＝1.∴在0到2之间，物体的平均速度为1.