3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义明目标、知重点1．熟练掌握复数的代数形式的加减法运算法则.2.理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题．1．复数加法与减法的运算法则(1)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，则z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.(2)对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．2．复数加减法的几何意义如图：设复数z1，z2对应向量分别为OZ1，OZ2，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是OZ，与z1－z2对应的向量是Z2Z1.[情境导学]我们学习过实数的加减运算，复数如何进行加减运算？我们知道向量加法的几何意义，那么复数加法的几何意义是什么呢？探究点一复数加减法的运算思考1我们规定复数的加法法则如下：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i.那么两个复数的和是个什么数，它的值唯一确定吗？答仍然是个复数，且是一个确定的复数；思考2当b＝0，d＝0时，与实数加法法则一致吗？答一致．思考3复数加法的实质是什么？类似于实数的哪种运算方法？答实质是实部与实部相加，虚部与虚部相加，类似于实数运算中的合并同类项．思考4实数的加法有交换律、结合律，复数的加法满足这些运算律吗？并试着证明．答满足，对任意的z1，z2，z3∈C，有交换律：z1＋z2＝z2＋z1.结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．证明：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，z2＋z1＝(c＋a)＋(d＋b)i，显然，z1＋z2＝z2＋z1，同理可得(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．思考5类比于复数的加法法则，试着给出复数的减法法则．答(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i.例1计算：(1)(1＋2i)＋(－2＋i)＋(－2－i)＋(1－2i)；1(2)1＋(i＋i2)＋(－1＋2i)＋(－1－2i)．解(1)原式＝(1－2－2＋1)＋(2＋1－1－2)i＝－2.(2)原式＝1＋(i－1)＋(－1＋2i)＋(－1－2i)＝(1－1－1－1)＋(1＋2－2)i＝－2＋i.反思与感悟复数的加减法运算，就是实部与实部相加减做实部，虚部与虚部相加减作虚部，同时也把i看作字母，类比多项式加减中的合并同类项．跟踪训练1(1)计算2i－[(3＋2i)＋3(－1＋3i)]；(2)计算(a＋2bi)－(3a－4bi)－5i(a，b∈R)；解(1)原式＝2i－(3＋2i－3＋9i)＝2i－11i＝－9i.(2)原式＝－2a＋6bi－5i＝－2a＋(6b－5)i.探究点二复数加减法的几何意义思考1复数与复平面内的向量一一对应，你能从向量加法的几何意义出发讨论复数加法的几何意义吗？答如图，设OZ1，OZ2分别与复数a＋bi，c＋di对应，则有OZ1＝(a，b)，OZ2＝(c，d)，由向量加法的几何意义OZ1＋OZ2＝(a＋c，b＋d)，所以OZ1＋OZ2与复数(a＋c)＋(b＋d)i对应，复数的加法可以按照向量的加法来进行．思考2怎样作出与复数z1－z2对应的向量？答z1－z2可以看作z1＋(－z2)．因为复数的加法可以按照向量的加法来进行．所以可以按照平行四边形法则或三角形法则作出与z1－z2对应的向量(如图)．图中OZ1对应复数z1，OZ2对应复数z2，则Z2Z1对应复数z1－z2.例2如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别表示0,3＋2i，－2＋4i.求：(1)AO表示的复数；(2)对角线CA表示的复数；(3)对角线OB表示的复数．解(1)因为AO＝－OA，所以AO表示的复数为－3－2i.(2)因为CA＝OA－OC，所以对角线CA表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)因为对角线OB＝OA＋OC，所以对角线OB表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.反思与感悟复数的加减法可以转化为向量的加减法，体现了数形结合思想在复数中的运用．跟踪训练2复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．解设复数z1，z2，z3在复平面内所对应的点分别为A，B，C，正方形的第四个顶点D对应的复数为x＋yi(x，y∈R)，如图．则AD＝OD－OA＝(x＋yi)－(1＋2i)＝(x－1)＋(y－2)i，BC＝OC－OB＝(－1－2i)－(－2＋i)＝1－3i. AD＝BC，∴(x－1)＋(y－2)i＝1－3i.∴，解得，故点D对应的复数为2－i.探究点三复数加减法的综合应用例3已知|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，求|z1＋z2|.解方法一设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，...
