学业分层测评(十)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．以下四组向量：①a＝(1，－2,1)，b＝(－1,2，－1)；②a＝(8,4,0)，b＝(2,1,0)；③a＝(1,0，－1)，b＝(－3,0,3)；④a＝，b＝(4，－3,3)．其中a，b分别为直线l1，l2的方向向量，则它们互相平行的是()A．②③B．①④C．①②④D．①②③④【解析】① a＝－b，∴a∥b.② a＝4b，∴a∥b.③ b＝－3a，∴a∥b.④ b＝－3a，∴a∥b.【答案】D2．已知线段AB的两端点坐标为A(9，－3,4)，B(9,2,1)则线段AB与坐标平面()A．xOy平行B．xOz平行C．yOz平行D．yOz相交【解析】 A(9，－3,4)，B(9,2,1)∴AB＝(0,5，－3) yOz平面内的向量的一般形式为a＝(0，y，z)∴AB∥a∴AB∥平面yOz.∴AB∥平面yOz.【答案】C3．已知向量a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则()A．x＝6，y＝15B．x＝3，y＝C．x＝3，y＝15D．x＝6，y＝【解析】 l1∥l2，设a＝λb，∴(2,4,5)＝λ(3，x，y)，∴x＝6，y＝.【答案】D4．已知平面α的法向量是(2,3，－1)，平面β的法向量是(4，λ，－2)，若α⊥β，则λ的值是()【导学号：32550041】A．－B．6C．－6D．【解析】 α⊥β，∴α的法向量与β的法向量也互相垂直．∴(2,3，－1)·(4，λ，－2)＝8＋3λ＋2＝0，∴λ＝－.【答案】A15．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中在平面α内的是()A．(1，－1,1)B．C.D．【解析】要判断点P是否在平面α内，只需判断向量PA与平面α的法向量n是否垂直，即PA·n是否为0，因此，要对各个选项进行检验．对于选项A，PA＝(1,0,1)，则PA·n＝(1,0,1)·(3,1,2)＝5≠0，故排除A；对于选项B，PA＝，则PA·n＝(1，－4，)·(3,1,2)＝0，故B正确；同理可排除C，D.故选B.【答案】B二、填空题6．已知l∥α，且l的方向向量为(2，－8,1)平面α的法向量为(1，y,2)，则y＝________.【解析】 l∥α，∴l⊥α的法向量，∴2×1－8y＋1×2＝0，∴y＝.【答案】.7．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，向量(x，y，z)是平面ABC的一个法向量，则x∶y∶z＝________.【解析】设n＝(x，y，z)则n·AB＝0，即(x，y，z)·(－1,1,0)＝0，∴－x＋y＝0，n·BC＝0，即(x，y，z)·(0，－1,1)＝0，∴－y＋z＝0，∴x∶y∶z＝1∶1∶1.【答案】1∶1∶18．已知a＝(1,1,0)，b＝(1,1,1)，若b＝b1＋b2，且b1∥a，b2⊥a，则b1＝________，b2＝________.【解析】设b1＝(x，y，z)， b1∥a，∴x＝y，z＝0.又 b2＝b－b1＝(1－x,1－y,1－z)，b2⊥a，∴b2·a＝1－x＋1－y＝0，得x＋y＝2.∴x＝y＝1.即b1＝(1,1,0)，b2＝(0,0,1)．【答案】(1,1,0)(0,0,1)三、解答题9．用向量方法证明：如果两个相交平面与第三个平面垂直，则它们的交线也与第三个平面垂直．【解】已知：如图，α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ.求证：l⊥γ证明：设平面α，β，γ的法向量分别为a，b，c，直线l的方向向量为e，则a·e＝0，b·e＝0.因为a，b与e不共面，2故存在实数x，y，z使c＝xa＋yb＋ze.因为a⊥c，b⊥c，所以因为α与β相交，所以a与b不共线，所以≠，所以方程组有唯一解所以c＝ze，即c∥e，从而有l⊥γ.图24410．如图244所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.证明：(1)PA∥平面EDB；(2)PB⊥平面EFD.【证明】(1)以D为坐标原点，DA、DC、DP所在的直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系．连结AC，AC交BD于G.连结EG.设DC＝a，依题意得A(a,0,0)，P(0,0，a)，E， 底面ABCD是正方形，∴G是此正方形的中心，故点G的坐标为，且PA＝(a,0，－a)，EG＝.∴PA＝2EG，即PA∥EG.而EG⊂平面EDB且PA⊄平面EDB，∴PA∥平面EDB.(2)依题意得B(a，a,0)，PB＝(a，a，－a)．又DE＝，故PB·DE＝0＋－＝0，∴PB⊥DE，由已知EF⊥PB，且EF∩DE＝E，所以PB⊥平面EFD.[能力提升]1．已知AB＝(1,5，－2)，BC＝(3,1，z)．若AB⊥BC，BP＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则x，y，z分别为()A.、－、4B．、－、4C.、－2、4D．4、、－153【解析】AB⊥BC，∴AB·BC＝0，得z＝4.又BP⊥平面ABC，∴BP·AB＝0，BP·BC＝0，可解得x＝，y＝－.【答案】B2．如图...
