2.基本不等式VIP专享VIP免费

河北定兴中学范雪红【学习目标】1、通过对实例的探究，学会推导并掌握基本不等式，理解它的几何意义；2、会应用基本不等式解决一些简单的实际问题；3、渗透“化归与转化”的数学思想，提高运算能力和逻辑推理能力。经历几何与代数的结合运用，体会各种事物之间的普遍联系。【学习重点】【学习难点】1、用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程;2、掌握基本不等式，会用它解决一些简单的实际问题。1、能根据实例的探究推导及证明基本不等式，掌握基本不等式等号成立条件。2、应用基本不等式解决实际问题。a+bab2≤第24届国际数学家大会会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。创设情境思考1：这会标中含有哪几种几何图形？思考2：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？问题2：s,S/有相等的情况吗？何时相等？将图中的“风车”抽象成右图【自主探究】问题1：正方形ABCD的面积S与四个直角三角形的面积和S/有什么关系？ABCDE(FGH)ab问题2：那么它们有相等的情况吗？结论：一般地，对于任意实数a、b，我们有当且仅当a=b时，等号成立.222abab文字叙述:两数的平方和不小于它们积的2倍。ADCBHFGEab22ba思考：你能用其它方法证明不等式？abba2220)(2ba0)(2ba2()0ab所以≥222.abab所以≥时当ba时当ba222abab≥证明：（作差法）2)(ba当且仅当a=b时,等号成立.0,0,,,,ababab如果我们用分别代替可得到什么结论？【合作探究】问题2：你能用作差法证明这个不等式吗？证明：当且仅当a=b时,等号成立.问题1：222abab≥0,0b2bbaaab2-baa222bbaab2baa通常我们把上式写为(0,0)2ababab≤22(0,0,(),())abaabb02ba几何意义：半径不小于半弦长问题3：对于这个不等式，我们还可以用下图对它作出几何解释？【合作探究】ABEOCabD叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数.2abab(0,0)2ababab≤两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数文字叙述当且仅当a=b时，等号成立思考②如何用a,b表示CD?思考①如何用a,b表示OD?思考③OD与CD的大小关系怎样?基本不等式适用范围文字叙述“=”成立条件222abab≥2abab≥a=ba=b两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数两数的平方和不小于它们积的2倍a,b∈Ra>0,b>0填表比较：注意从不同角度认识基本不等式例1：(1)如图,用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？解：如图设BC=x，CD=y，则xy=100，篱笆的长为2(x+y)m.2xyxy≥210020,xy≥2()40xy≥当且仅当时，等号成立因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.xy此时x=y=10.x=yABDC1001010xyxxyy解，可得若x、y皆为正数，则当xy的值是常数P时，当且仅当x=y时，x+y有最小值_______.2P22≥xyxyP知识迁移：例1：(2)如图，用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？解：如图，设BC=x，CD=y，则2(x+y)=36,x+y=18矩形菜园的面积为xym22xyxy≤得xy≤81当且仅当x=y时，等号成立因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园面积最大，最大面积是81m21892即x=y=9若x、y皆为正数，则当x+y的值是常数S时，当且仅当x=y时，xy有最大值_______；214S21422≤≤xySxyxySxyABDC知识迁移：应用基本不等式求最值的条件：a与b为正实数若等号成立，a与b必须能够相等一正二定三相等积定和最小和定积最大强调：求最值时要考虑不等式是否能取到“＝”方法总结：随堂练习1.迁移与应用(1)设x>0,y>0且2x+y=1,则1𝑥+2𝑦的最小值是;(2)设x,y是正实数,且x+y=6,则lgx+lgy的最大值是.答案:(1)8(2)2lg3随堂练习2.1、本节课学习的主要内容是什么？1、本节课学习的主要内容是什么？2、利用基本不等式解决数学问题的条件是什么？【课堂感悟】【课外作业】：1、完成导学案课后巩固拓展。2、用建立二次函数模型方法解决例1（2），并对两种解法进行比较。3、上网查询赵爽弦图的相关知识，了解我国古代数学家的辉煌成就。