2.基本不等式-(2)VIP专享VIP免费

3.4基本不等式（1）基础知识·自主学习难点正本疑点清源情境引入2002年在北京举行的第24届国际数学家大会会标基础知识·自主学习难点正本疑点清源疑点探究思考1：这会标中含有怎样的几何图形？思考2：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？基础知识·自主学习难点正本疑点清源疑点探究HGFEDABCab22+ab问1：在正方形ABCD中,设AF=a,BF=b,则正方形的面积为S=————，问2：Rt△ABF,Rt△BCG,Rt△CDH,Rt△ADE是全等三角形，它们的面积和是S’=———问3：S与S’有什么样的关系？基础知识·自主学习难点正本疑点清源疑点探究图片说明：当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有a2+b2=2ab当a=b时，a2+b2－2ab=(a－b)2=0形的角度数的角度变化的弦图基础知识·自主学习难点正本疑点清源疑点探究结论：一般地，对于任意实数a、b，我们有a2+b2≥2ab当且仅当a=b时，等号成立此不等式称为重要不等式问题2：当a,b为任意实数时，a2+b2≥2ab成立吗？类比联想推理论证（特别的）如果也可写成,abab用和代替、可得abab2a＞0,b＞0,(,)002ababab当且仅当a=b时“＝”号成立此不等式称为基本不等式abab2算术平均数几何平均数(1)两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.(2)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.aboABPQ对基本不等式的几何意义作进一步探究:如图,AB是圆o的直径，Q是AB上任一点，AQ=a,BQ=b,过点Q作垂直于AB的弦PQ，连AP,BP,则PQ=____,半径AO=_____ab2ba几何意义：圆的半径不小于圆内半弦长动态演示(3)公式变形)0,0(2baabba)0,0()2(2babaab当且仅当a=b时取等号思考：(1)若x＞0,求f(x)=x+的最小值。(2)已知ab＞0,求的最小值。x1baab题型分类·深度剖析题型一利用基本不等式证明不等式学以致用【例1】已知a>0，b>0，证明下列不等式:4)11)((baba求证：题型分类·深度剖析题型一利用基本不等式证明不等式【例1】已知a>0，b>0，证明下列不等式:学以致用)0,0(2baabba4)11)((baba求证：当且仅当a=b时取等号题型分类·深度剖析题型一思维启迪翻转回味利用基本不等式证明不等式【例1】已知a>0，b>0，证明不等式:重要不等式a2+b2≥2ab基本不等式2baab2baab4)11)((baba求证：变式训练1：题型分类·深度剖析21)1(aa4)1)(1)(2(bbaa已知a>0，b>0，证明下列不等式:【例2】（1）已知x>0,y>0且xy=100,则x+y的最小值是_______,此时x=___,y=_____(2)已知x>0，y>0，且x＋y＝1，则1x＋1y的最小值为________；题型分类·深度剖析题型二利用基本不等式求最值思维启迪解析答案【例2】（1）已知x>0,y>0且xy=100,则x+y的最小值是_______,此时x=___,y=_____(2)已知x>0，y>0，且x＋y＝1，则1x＋1y的最小值为________；题型分类·深度剖析题型二利用基本不等式求最值思维启迪解析答案4)11)((baba刚刚我们证明了【例2】已知x>0，y>0，且x＋y＝1，则1x＋1y的最小值为________；题型分类·深度剖析题型二利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值可以先对式子进行必要的变换．如第(1)问把1x＋1y中的“1”代换为“2x＋y”，展开后利用基本不等式思维启迪解析答案4)11)((baba刚刚我们证明了【例2】已知x>0，y>0，且x＋y＝1，则1x＋1y的最小值为________；题型分类·深度剖析题型二利用基本不等式求最值(1) x>0，y>0，且x＋y＝1，思维启迪解析答案yyxxyxyx11＝2＋yx＋yx≥2＋2=4.当且仅当yx＝yx即x=y时，取等号．题型分类·深度剖析变式训练2：已知x>0，y>0，且2x＋y＝1，则1x＋1y的最小值为________；题型分类·深度剖析变式训练2：已知x>0，y>0，且2x＋y＝1，则1x＋1y的最小值为________；(1) x>0，y>0，且2x＋y＝1，∴1x＋1y＝2x＋yx＋2x＋yy＝3＋yx＋2xy≥3＋22.当且仅当yx＝2xy时，取等号．解析方法与技巧思想方法·感悟提高小结：利用求最值时要注意下面三条：)0,0(2baabba（1）一正：各项均为正数（2）二定：两个正数积为定值，和有最小值。两个正数和为定值，积有最大值。（3）三相等：求最值时一定要考虑不等式是否能取“＝”，否则会出现错误...