(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)一、选择题1．设a＝lg2＋lg5，b＝ex(x＜0)，则a与b大小关系为()A．a＞bB．a＜bC．a＝bD．a≤b【解析】∵a＝lg2＋lg5＝lg10＝1，而b＝ex＜e0＝1，故a＞b.【答案】A2．设x，y，z∈(0，＋∞)，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a，b，c三数()A．至少有一个不大于2B．都小于2C．至少有一个不小于2D．都大于2【解析】a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥6，因此a，b，c至少有一个不小于2.【答案】C3．用分析法证明：欲使①A＞B，只需②C＜D，这里①是②的()A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】分析法证明的本质是证明结论的充分条件成立，即②⇒①，所以①是②的必要条件．【答案】B4．设a＞0，b＞0，且a＋b≤4，则有()A.≥B.≥2C.＋≥1D.≤【解析】＋＝≥＝≥＝1.【答案】C5．(2009年邯郸模拟)设a，b是两个实数，给出下列条件：(1)a＋b＞1；(2)a＋b＝2；(3)a＋b＞2；(4)a2＋b2＞2；(5)ab＞1.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是()A．(2)(3)B．(1)(2)(3)C．(3)D．(3)(4)(5)【解析】若a＝，b＝，则a＋b＞1，但a＜1，b＜1，故(1)推不出；若a＝b＝1，则a＋b＝2，故(2)推不出；若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2＞2，故(4)推不出；若a＝－2，b＝－3，则ab＞1，故(5)推不出；对于(3)，即a＋b＞2，则a，b中至少有一个大于1，反证法：假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2与a＋b＞2矛盾，因此假设不成立，a，b中至少有一个大于1.【答案】C二、填空题6．设f(x)＝(x－a)(x－b)(x－c)(a，b，c是不相等的常数)，则＋＋＝________.【解析】∵f′(x)＝(x－a)′[(x－b)(x－c)]＋(x－a)·[(x－b)(x－c)]′，∴f′(a)＝(a－b)(a－c)，同理可得f′(b)＝(b－a)(b－c)，f′(c)＝(c－a)(c－b)．∴＋＋＝＋＋＝＝＝0.【答案】07．(2009年德州模拟)凸函数的性质定理为：如果函数f(x)在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意x1，x2，…，xn，有≤f()，已知函数y＝sinx在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值为________．用心爱心专心【解析】∵f(x)＝sinx在区间(0，π)上是凸函数，且A、B、C∈(0，π)，∴≤f()＝f()，即sinA＋sinB＋sinC≤3sin＝，所以sinA＋sinB＋sinC的最大值为.【答案】8．设x，y，z是空间的不同直线或不同平面，且直线不在平面内，下列条件中能保证“若x⊥z，且y⊥z，则x∥y”为真命题的是________．(填所有正确条件的代号)①x为直线，y，z为平面；②x，y，z为平面；③x，y为直线，z为平面；④x，y为平面，z为直线；⑤x，y，z为直线．【解析】①中x⊥平面z，平面y⊥平面z，∴x∥平面y或x⊂平面y.又∵x⊄平面y,故x∥y成立．②中若x，y，z均为平面，则x可与y相交，故②不成立．③x⊥z，y⊥z，x，y为不同直线，故x∥y成立．④z⊥x，z⊥y，z为直线，x，y为平面可得x∥y，④成立．⑤x，y，z均为直线可异面垂直，故⑤不成立．【答案】①③④三、解答题9．设a，b，c均为奇数，求证：ax2＋bx＋c＝0无整数根．【证明】假设方程有整数根x＝x0，∴ax02＋bx0＋c＝0，∴c＝－(ax02＋bx0)．若x0是偶数，则ax02，bx0是偶数，ax02＋bx0是偶数，从而c是偶数，与题设矛盾．若x0是奇数，则ax02，bx0是奇数，ax02＋bx0是偶数，从而c是偶数，与题设矛盾．综上所述，方程ax2＋bx＋c＝0没有整数根．10．(2009年黄冈模拟)(1)设x是正实数，求证：(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3；(2)若x∈R，不等式(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3是否仍然成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个使它不成立的x的值．【解析】(1)x是正实数，由均值不等式知x＋1≥2，1＋x2≥2x，x3＋1≥2，故(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥2·2x·2＝8x3(当且仅当x＝1时等号成立)．(2)若x∈R，不等式(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3仍然成立．由(1)知，当x＞0时，不等式成立；当x≤0时，8x3≤0，而(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)＝(x＋1)2(x2＋1)(x2－x＋1)＝(x＋1)2(x2＋1)[(x－)2＋]≥0，此时不等式仍然成立．用心爱心专心用心爱心专心
