(新课程)高中数学-《3.2.3指数函数与对数函数的关系》课件-新人教B版必修1VIP专享VIP免费

3．2.3指数函数与对数函数的关系【课标要求】1．了解反函数的概念，知道指数函数和对数函数互为反函数，弄清它们的图象间的对称关系．2．利用图象比较指数函数、对数函数增长的差异．3．利用指数、对数函数的图象性质解决一些简单问题．【核心扫描】1．反函数及互为反函数图象的对称性．(重点)2．指数函数、对数函数的图象与性质的应用．(重点、难点)自学导引1．反函数(1)互为反函数的概念：当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的，而把这个函数的自变量作为新的函数的.称这两个函数互为反函数．(2)反函数的记法：函数y＝f(x)的反函数通常用y＝f－1(x)表示．自变量因变量2．指数函数与对数函数的关系(1)指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)．(2)指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象关于直线对称．互为反函数y＝x试一试：由反函数的定义，判断函数y＝x2＋1(x∈R)有反函数吗？提示没有，因为y＝x2＋1(x∈R)不是一一映射，只有当一个函数是一一映射时，这个函数才存在反函数．想一想：互为反函数的两个函数定义域，值域有何关系？提示原函数的定义域成为反函数的值域，而原函数的值域，则为反函数的定义域．名师点睛1．反函数的求法(1)求出反函数的定义域(即原函数的值域)；(2)由y＝f(x)出发，用y表示x，解出x＝f－1(y)；(3)将x＝f－1(y)中的x、y互换，得到y＝f－1(x)即为所求．可简单的记为：一解二换三写．2．反函数的性质(1)互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称．若函数y＝f(x)的图象关于y＝x对称，说明y＝f(x)的反函数是它本身，如反比例函数y＝1x.(2)若函数y＝f(x)上有一点(a，b)，则(b，a)必在其反函数图象上，反之若(b，a)在反函数图象上，则(a，b)必在原函数图象上．3．指数函数与对称函数的图象和性质的关系：名称指数函数对数函数一般形式y＝ax(a>0，a≠1)y＝logax(a>0，a≠1)定义域(－∞，＋∞)(0，＋∞)值域(0，＋∞)(－∞，＋∞)函数值变化情况当a>1时，当01时，ax>1x>0，＝1x＝0，<1x<0；ax<1x>0，＝1x＝0，>1x<0logax>0x>1，＝0x＝1，<001，＝0x＝1，>001时，y＝ax为增函数；a>1时，y＝logax为增函数；00且a≠1)的图象过点(1,4)，其反函数的图象过点(2,0)，求a，b的值．[思路探索]属于互为反函数的函数图象性质问题．解 y＝ax＋b的图象过点(1,4)，∴a＋b＝4.①又 y＝ax＋b的反函数图象过点(2,0)，∴点(0,2)在原函数y＝ax＋b的图象上．a0＋b＝2.②联立①②得a＝3，b＝1.规律方法互为反函数的图象关于直线y＝x对称是反函数的重要性质，由此可得互为反函数图象上任一成对的相应点也关于y＝x对称，所以若点(a，b)在函数y＝f－1(x)图象上，则点(b，a)必在其反函数y＝f(x)图象上．【训练2】已知f(x)＝log3x，则f－1(4)＝________.解析由log3x＝4，得x＝34＝81.即f－1(4)＝34＝81.答案81题型三指、对数函数图象性质应用【例3】设方程2x＋x－3＝0的根为a，方程log2x＋x－3＝0的根为b，求a＋b的值．审题指导本题考查了指数函数，对数函数的图象及其对称关系．【解题流程】整理方程―→画出图象―→确定交点与方程的关系―→代入求解[规范解答]将方程整理得2x＝－x＋3，log2x＝－x＋3.………………………………………2分如图可知，a是指数函数y＝2x的图象与直线y＝－x＋3交点A的横坐标，b是对数函数y＝log2x的图象与直线y＝－x＋3交点B的横坐标．由于函数y＝2x与y＝log2x互为反函数，……………6分【题后反思】形如ax...