2.2.1双曲线的定义与标准方程VIP免费

古田一中黄传杰问题1：椭圆的定义是什么？平面内与两个定点|F1F2|的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。问题2：椭圆的标准方程是怎样的?)0(1)0(122222222babxaybabyax或，，关系如何？abc222cba问题3：如果把椭圆定义中“距离的和”改为“距离的差”那么动点的轨迹会发生怎样的变化？平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2|，且不等于0）的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。通常情况下，我们把|F1F2|记为2c（c>0)；常数记为2a(a>0).问题4:定义中为什么强调常数要小于|F1F2|且不等于0（即0<2a<2c）？如果不对常数加以限制，动点的轨迹会是什么？问题3:定义中为什么强调距离差的绝对值为常数？一、双曲线的定义①若2a=2c,则轨迹是什么？②若2a>2c,则轨迹是什么？③若2a=0,则轨迹是什么？此时轨迹为以F1或F2为端点的两条射线此时轨迹不存在此时轨迹为线段F1F2的垂直平分线F1F2F1F2分3种情况来看：二、双曲线标准方程的推导①建系1F2F使轴经过两焦点，轴为线段的垂直平分线。x21,FF21,FFyxyO②设点设是双曲线上任一点，),(yxMM焦距为，那么焦点又设|MF1|与|MF2|的差的绝对值等于常数。)0(2cc)0,(),0,(21cFcFa2③列式aMFMF221即aycxycx2)()(2222aycxycx22222将上述方程化为：aycxycx22222移项两边平方后整理得：222ycxaacx两边再平方后整理得：22222222acayaxac由双曲线定义知：ac22即：ac022ac设0222bbac代入上式整理得：122222acyax两边同时除以得：)0,0(12222babyax④化简这个方程叫做双曲线的标准方程，它所表示的双曲线的焦点在x轴上，焦点是F1(-c，0)，F2(c，0).其中c2=a2+b2.222aca类比椭圆的标准方程，请思考焦点在y轴上的双曲线的标准方程是什么？1F2FxyO)0,0(12222babxay其中c2=a2+b2.这个方程叫做双曲线的标准方程，它所表示的双曲线的焦点在y轴上，焦点是F1(0，-c)，F2(0，c).)0,0(12222babxay)0,0(12222babyax三.双曲线两种标准方程的比较①方程用“－”号连接。②分母是但大小不定。0,0,,22bababa,③。222bac④如果的系数是正的，则焦点在轴上；如果的系数是正的，则焦点在轴上。2xx2yyOMF2F1xyF2F1MxOy定义方程焦点a.b.c的关系F（±c，0）F（±c，0）a>0，b>0，但a不一定大于b，c2=a2+b2a>b>0，a2=b2+c2四、双曲线与椭圆之间的区别与联系||MF1|－|MF2||=2a|MF1|+|MF2|=2a椭圆双曲线F（0，±c）F（0，±c）22221(0)xyabab22221(0)yxabab22221(0,0)xyabab22221(0,0)yxabab写出下列双曲线的焦点坐标。)0,0(1412431222124122222222nmnymxyxyxyx答案：1(6,0).(6,0)2(2,0).(2,0)3(0,6).(0,6)4(,0).(,0)mnmn题后反思：先把非标准方程化成标准方程，再判断焦点所在的坐标轴。变式训练解：因为双曲线的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为)0,0(12222babyax因此，双曲线的标准方程为题后反思：求标准方程要做到先定型，后定量。两条射线轨迹不存在例1、已知双曲线的焦点为，且双曲线上任一点到两个焦点的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的方程。1.若|PF1|-|PF2|=6呢？2.若||PF1|-|PF2||=10呢？3.若||PF1|-|PF2||=8呢？221.(0)97xyx26,3,aa2224437,cb又22197xy(4,0),(4,0)求适合下列条件的双曲线的标准方程。①焦点在在轴上，；②焦点在在轴上，经过点.xx3,4ba)2,315(),3,2(答案:①191622yx)0,0(12222babyax②设双曲线的标准方程为代入点得)2,315(),3,2(12351322222baba令221,1bnam则1235132nmnm解得311nm故所求双曲线的标准方程为.1322yx解:例2、已知双曲线的焦点为，并且双曲线经过点，求双曲线的方程。(4,0),(4,0)P(4,6)双曲线的定义双曲线的标准...