第五章平面向量第3节平面向量的数量积及应用上杭一中袁瑞英2017.10.24【考情分析】从近几年高考试题看，平面向量的数量积是高考命题的热点，主要考查平面向量积的数量的运算、几何意义、模与夹角、垂直问题．在高考中直接考查以选择题或填空题为主，有时出现解答题，主要与三角函数、解析几何综合在一起命题．备考时为体现向量工具性的作用还应灵活运用向量知识解决一些简单的平面几何问题.【预习检测】1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则AB→·AC→等于()A．－16B．－8C．8D．16[解析]如图，AB→·AC→＝(AC→＋CB→)·AC→＝AC→2＋CB→·AC→＝42＋0＝16.[答案]D2．已知向量a、b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为________．[解析]由(a＋2b)·(a－b)＝－6得a2－2b2＋a·b＝－6. |a|＝1，|b|＝2，∴12－2×22＋1×2×cos〈a，b〉＝－6，∴cos〈a，b〉＝12. 〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝π3.[答案]π33．已知|a|＝4，|b|＝3，a与b的夹角为120°，则b在a方向上的投影为()A．2B.32C．－2D．－32[解析]b在a方向上的投影为|b|cos120°＝－32.故选D.[答案]D(对应学生用书P70)基础知识回顾感悟教材·学与思1.平面向量数量积的性质及其坐标表示已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)θ为向量a、b的夹角.向量表示坐标表示数量积a·b＝|a||b|cosθa·b＝x1x2＋y1y2模|a|＝a·a|a|＝x21·y21夹角cosθ＝a·b|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)|x1x2＋y1y2|≤x21＋y21·x22＋y22【要点梳理】2.向量的投影设θ为a与b的夹角，则向量a在b方向上的投影是__________；向量b在a方向上的投影是_____________3.数量积的几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与_________________________的乘积.|a|cosθ|b|cosθ.b在a的方向上的投影|b|cosθ4．平面向量数量积的运算律已知向量a、b、c和实数λ，则：(1)交换律：a·b＝________；(2)结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝____________；(3)分配律：(a＋b)·c＝_________________.b·aa·(λb)a·c＋b·c向量数量积与实数相关概念的区别：(1)表示方法的区别．数量积的记号是a·b，不能写成a×b，也不能写成ab.(2)相关概念及运算的区别．①若a，b为实数，且ab＝0，则有a＝0或b＝0，但a·b＝0却不能得出a＝0或b＝0.②若a，b，c∈R，且a≠0，则由ab＝ac可得b＝c，但由a·b＝a·c及a≠0却不能推出b＝c.③若a，b，c∈R，则a(bc)＝(ab)c(结合律)成立，但对于向量a，b，c，而(a·b)c与a(b·c)一般是不相等的，向量的数量积是不满足结合律的．④若a，b∈R，则|a·b|＝|a|·|b|，但对于向量a，b，却有|a·b|≤|a||b|，等号当且仅当a∥b时成立．考点互动探究核心突破·导与练(1)(2016·新课标全国卷Ⅰ)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，则t＝________.(2)设e1，e2为单位向量，且e1，e2的夹角为π3，若a＝e1＋3e2，b＝2e1，则向量a在b方向上的投影为________．考向一平面向量的数量积的运算及几何意义(3)(2016·石家庄市质检)在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为BC的中点，若F为该矩形内(含边界)任意一点，则AE→·AF→的最大值为________．【解析】(3)以A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则E(2，12)，设F(x，y)，则0≤x≤20≤y≤1，AE→·AF→＝2x＋12y，令z＝2x＋12y，当z＝2x＋12y过点(2,1)时，AE→·AF→取最大值92.拓展提高(1)平面向量数量积的计算方法①已知向量a，b的模及夹角θ，利用公式a·b＝|a||b|cosθ求解；②已知向量a，b的坐标，利用数量积的坐标形式求解．(2)对于向量数量积与线性运算的综合运算问题，可先利用数量积的运算律化简，再进行运算．考点二利用数量积求向量夹角和模例2(1)(2015·温州市质检)在△ABC中，若∠A＝120°，AB→·AC→＝－1，则|BC→|的最小值是()A.2B．2C.6D．6(2)(2015·安徽省“江南十校”联考)已知e1，e2是两个单位向量，其夹角为θ，若向量m＝2e1＋3e2，则|m|＝1的充要条件是()A．θ＝πB．θ＝π2C．θ＝π3D．θ＝2π3拓展提高(1)在...
