1.掌握比较两个实数大小的方法.2.理解不等式的性质,能运用不等式的性质比较大小.3.能运用不等式的性质证明不等式等简单问题.1.实数的大小与实数的运算性质之间的关系设a,b为两个实数,它们在数轴上的点分别记为A,B,如果A落在B的右边,则称a大于b,记为a>b;如果A落在B的左边,则称a小于b,记为a
b,a=b,ab⇔a-b>0;a=b⇔a-b=0;a1⇔a>b;𝑎𝑏=1⇔a=b;𝑎𝑏<1⇔a0,即(x2-x)-(x-2)>0.所以x2-x>x-2.答案:x2-x>x-2【做一做1-2】设x=a2b2+5,y=2ab-a2-4a,若x>y,则实数a,b应满足的条件为.解析: x>y,∴x-y=a2b2+5-2ab+a2+4a=(ab-1)2+(a+2)2>0.∴ab-1≠0或a+2≠0,即ab≠1或a≠-2.答案:ab≠1或a≠-22.不等式的基本性质(1)对称性如果a>b,那么bb.即a>b⇔bb,b>c,那么a>c,即a>b,b>c⇒a>c(3)加(减)如果a>b,那么a+c>b+c,即a>b⇔a+c>b+c(4)乘(除)如果a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b,c<0,那么acb>0,那么an>bn(n为正整数,且n≥2)(6)开方如果a>b>0,那么ξ𝑎𝑛>ξ𝑏𝑛(n为正整数,且𝑛≥2)(7)同向可加a>b,c>d⇒a+c>b+d(8)同向可乘a>b>0,c>d>0⇒ac>bd归纳总结(1)对于性质(4)可以看成:若c>0,则a>b⇔ac>bc;若c<0,则a>b⇔acb,则下列不等式成立的是()A.1𝑎<1𝑏B.a2>b2C.𝑎𝑐2+1>𝑏𝑐2+1D.a|c|>b|c|答案:C【做一做2-2】下列命题正确的有.①若a>b,则ac2>bc2;②若𝑎𝑐2>𝑏𝑐2,则a>b;③若a>b,ab≠0,则1𝑎<1𝑏;④若a>b,c>d,则ac>bd;⑤若𝑎𝑐>𝑏𝑑,则ad>bc.答案:②2.比较两数(式)大小的常用方法有哪些?它们有什么区别?剖析:作差比较法作商比较法乘方比较法依据a-b>0⇔a>ba-b<0⇔a1a>0b>0ቑ⇒a>b;ab<1a>0b>0ቑ⇒ab2a>0b>0ൡ⇒a>b应用范围若数(式)的符号不明显,作差后可化为积或商的形式同号两数比较大小,或指数式之间比较大小要比较的两数(式)中有根号作差比较法作商比较法乘方比较法步骤①作差;②变形;③判断符号;④下结论①作商;②变形;③判断商与1的大小;④下结论①乘方;②用作差法或作商法比较大小题型一题型二题型三题型四作差比较法【例1】已知x∈R,比较(x+1)ቀ𝑥2+𝑥2+1ቁ与ቀ𝑥+12ቁ(x2+x+1)的大小.分析:直接作差比较需将展开,过程较为复杂,式子冗长,可以考虑两个式子的特点,根据两个式子的特点,先把式子变形后,再作差比较大小.(x+1)ቀ𝑥2+𝑥2+1ቁ与ቀ𝑥+12ቁ(x2+x+1)题型一题型二题型三题型四解: (x+1)ቀ𝑥2+𝑥2+1ቁ=(x+1)ቀ𝑥2+𝑥+1-𝑥2ቁ=(x+1)(x2+x+1)−𝑥2(x+1),ቀ𝑥+12ቁ(x2+x+1)=ቀ𝑥+1-12ቁ(x2+x+1)=(x+1)(x2+x+1)−12(x2+x+1),∴(x+1)ቀ𝑥2+𝑥2+1ቁ−ቀ𝑥+12ቁ(x2+x+1)=(x+1)(x2+x+1)−𝑥2(x+1)-(x+1)(x2+x+1)+12(x2+x+1)=12(x2+x+1)−12(x2+x)=12>0.∴(x+1)ቀ𝑥2+𝑥2+1ቁ>ቀ𝑥+12ቁ(x2+x+1).反思当直接作差不容易判断两式的大小或者运算量较大时,可观察式子自身的特点,先变形,再去作差,最后比较大小.题型一题型二题型四题型三不等式的性质【例2】判断下列命题的真假,并简述理由.(1)a>b,c>d⇒a-c>b-d;(2)a>b,c𝑏𝑑;(3)|a|>b>0⇒an>bn(n∈N*,n>1);(4)0>ξ𝑎n>ξ𝑏𝑛⇒a>b(n∈N*,n>1).分析:要判断上述命题的真假,依据就是实数的基本性质及实数运算的符号法则,以及不等式的基本性质,经过合理的逻辑推理即可判断.也可令式中字母取一些特殊值,以检验不等式...
