1.相似三角形的判定VIP专享VIP免费

1．3相似三角形的判定及性质第1课时相似三角形的判定[学习目标]1.掌握证明两个三角形相似的方法(重点)．2.能应用三角形相似解决有关问题(重点、难点)．[知识提炼·梳理]1．相似三角形的定义(1)定义：对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形．(2)相似比(相似系数)：相似三角形对应边的比值．(3)记法：两个三角形相似，用符号“∽”表示．例如△ABC与△A′B′C′相似，记作△ABC∽△A′B′C′．温馨提示若两个三角形相似，则它们的对应角相等，对应边成比例．2．预备定理文字语言平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似图形语言符号语言在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，且DE∥BC，则△ADE∽△ABC3.相似三角形的判定定理(1)判定定理1：两角对应相等，两三角形相似．(2)判定定理2：两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似．(3)判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似．4．直角三角形相似的判定(1)两直角三角形有一个锐角相等，两直角三角形相似．(2)两直角三角形的两直角边对应成比例，两直角三角形相似．(3)两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．温馨提示在证明直角三角形相似时，要特别注意直角三角形这一隐含条件的利用．[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)有两边成比例及一个角相等的两个三角形相似．()(2)有两边成比例的两个等腰三角形相似．()(3)有三边分别对应平行的两个三角形相似．()(4)有两边及一边上的高对应成比例的两个三角形相似．()解析：相似三角形的判定方法易知(1)、(2)、(4)错误，(3)正确．答案：(1)×(2)×(3)√(4)×2．下列判断不正确的是()A．两直角边分别是3.5，2和2.8，1.6的两个直角三角形相似B．斜边和一直角边分别是25，4和5，2的两个直角三角形相似C．两边长分别是7，4和14，8的两个直角三角形相似D．两个等腰直角三角形相似解析：A.因为3.52.8＝54＝21.6，且夹角都是90°.所以两个直角三角形相似．B．由勾股定理可求得，两个直角三角形的斜边分别为（25）2－42＝2和（5）2－22＝1，因为42＝21且夹角都是90°，所以两直角三角形相似．C．设有明确所给的三角形的两边是直角边还是斜边，不能确定对应边，故C不正确．D．两个等腰直角三角形有两个角都是45°，两个对应角相等．答案：C3．如图所示，AD∥EF∥BC，GH∥AB，则图中与△BOC相似的三角形有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：根据三角形的预备定理可得：△OEF∽△OBC，△CHG∽△CBO，△OAD∽△OBC，故与△BOC相似的三角形有3个．答案：C4．如图所示，DE∥BC，设AD＝5，DB＝3，则△ADE与△ABC的相似比是________．解析：因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，所以相似比等于ADAB＝58.答案：585．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AC＝6，AD＝3，则AB＝____．解析：在Rt△ACD和Rt△ABC中，∠A＝∠A，所以△ACD∽△ABC，所以ACAB＝ADAC，则AB＝AC2AD＝12.答案：12类型1相似三角形的判定(互动探究)[典例1]如图所示，在△ABC中，D是BC边的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F.求证：△ABC∽△FCD.证明：因为BD＝DC，DE⊥BC，所以△BEC为等腰三角形，所以∠B＝∠ECB.又因为AD＝AC，所以∠ADC＝∠ACB，所以△ABC∽△FCD.归纳升华1．相似三角形判定定理的选择．(1)已知有一角相等时，可选择判定定理1与判定定理2.(2)已知有两边对应成比例时，可选择判定定理2与判定定理3.2．判定两个直角三角形相似的方法．(1)使用一般三角形相似的判定方法证明．(2)两个直角三角形已经具备直角对应相等，只要再证明有一对锐角相等，或夹直角的两边对应成比例，就可以证明这两个直角三角形相似．[迁移探究1](变换条件、改变问法)典例1中“AD＝AC”的条件删去，∠BAC＝90°，其他条件不变．试证明：△ABD∽△CBE.证明：因为D是BC边的中点，DE⊥BC，所以EB＝EC，所以∠B＝∠ECB.因为D是BC边的中点，∠BAC＝90°，所以AD＝12BC＝BD，所以∠BAD＝∠B，所以∠BAD＝∠BCE.又∠B＝∠B，所以△ABD∽△CBE.[迁移探究2](变换条件、改变问法)典例1中“D是BC边的中点，DE⊥BC”的条...