3．1.2导数的概念自学导引1．瞬时变化率函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率在Δx→0时的极限，即想一想：函数平均变化率的几何意义和物理意义是什么？提示平均变化率的几何意义是表示函数y＝f(x)图象上割线P1P2的斜率(其中P1(x1，f(x1)，P2(x2，f(x2))，即kP1P2＝f（x2）－f（x1）x2－x1＝f（x1＋Δx）－f（x1）Δx；物理意义是把位移s看成时间t的函数s＝s(t)在时间段[t1，t2]上的平均速度，即v＝s（t2）－s（t1）t2－t1.2．函数f(x)在x＝x0处的导数函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是limΔyΔx＝limf（x0＋Δx）－f（x0）Δx，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作，即f′(x0)＝ΔyΔx＝f（x0＋Δx）－f（x0）Δx.f′(x0)或y′|x＝x0想一想：函数f(x)在x＝x0处的导数与Δx趋近于0的方式有关吗？提示没有关系．无论Δx从一侧趋近于0还是从两侧趋近于0，其导数值应相同．否则f(x)在该点处导数不存在，如函数f(x)＝|x|在x＝0处导数不存在．2．对导数概念的理解导数是在点x＝x0处附近ΔyΔx的极限，是一个局部概念，y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)是一个确定的数．注意：(1)某点导数的概念包含两层含义：①limΔyΔx存在(惟一确定的值)，则称函数y＝f(x)在x＝x0处可导，②若limΔyΔx不存在，则函数y＝f(x)在x＝x0处不可导．(2)位移函数在某一时刻的瞬时变化率(导数)叫瞬时速度，即v＝limΔsΔt＝lims（t0＋Δt）－s（t0）Δt.(3)f′(x0)＝limf（x）－f（x0）x－x0与定义中的f′(x0)意义本质相同．题型一物体运动的瞬时速度【例1】一质点按规律s(t)＝at2＋1作直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若该质点在t＝2s时的瞬时速度为8m/s，求常数a的值．[思路探索]求物体的瞬时速度，应先求出平均速度ΔsΔt，再取极限．解 Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1＝4aΔt＋aΔt2，∴ΔsΔt＝4a＋aΔt.在t＝2s时，瞬时速度为ΔsΔt＝4a，即4a＝8，∴a＝2.规律方法求瞬时速度是利用平均速度“逐渐逼近”的方法得到的，其求解步骤如下：(1)由物体运动的位移s与时间t的函数关系式求出位移增量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)；(2)求时间t0到t0＋Δt之间的平均速度v＝ΔsΔt；(3)求limΔsΔt的值，即得t＝t0时的瞬时速度．【变式1】如果质点A按照规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为()．A．6B．18C．54D．81解析s＝3t2，∴s（3＋Δt）－s（3）（3＋Δt）－3＝3（3＋Δt）2－3·32Δt＝18Δt＋3Δt2Δt＝3Δt＋18，(3Δt＋18)＝18，∴在t＝3时的瞬时速度为18.答案B题型二函数在某点处的导数【例2】求y＝x2在点x＝1处的导数．[思路探索]解Δy＝(1＋Δx)2－12＝2Δx＋(Δx)2，ΔyΔx＝2Δx＋（Δx）2Δx＝2＋Δx，∴limΔyΔx＝lim(2＋Δx)＝2.∴y′|x＝1＝2.规律方法求函数y＝f(x)在点x0处的导数的步骤是：(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均变化率ΔyΔx＝f（x0＋Δx）－f（x0）Δx；(3)取极限，得导数f′(x0)＝limΔyΔx.【变式2】求y＝2x2＋4x在点x＝3处的导数．解Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)＝2(Δx)2＋16Δx，ΔyΔx＝2Δx＋16，∴limΔyΔx＝lim(2Δx＋16)＝16，即y′|x＝3＝16.题型三导数的实际意义【例3】(12分)一条水管中流出的水量y(单位：m3)是时间x(单位：s)的函数y＝f(x)＝x2＋7x＋15(0≤x≤8)．计算第2s和第6s时，水管流量函数的导数，并说明它们的实际意义．审题指导先利用导数的定义求导，再利用导数就是瞬时变化率解释其实际意义．[规范解答]在第2s和第6s时，水管流量函数的导数为f′(2)和f′(6)(2分)根据导数的定义，ΔyΔx＝f（2＋Δx）－f（2）Δx＝（2＋Δx）2＋7（2＋Δx）＋15－（22＋7×2＋15）Δx＝4Δx＋（Δx）2＋7ΔxΔx＝Δx＋11，所以f′(2)＝ΔyΔx＝(Δx＋11)＝11m3/s，(6分)同理可得f′(6)＝19m3/s.(8分)在第2s与第6s时，水管流量函数的导数分别为11与19.它说明在第2s附近，水管流量大约以11m3/s的速度流出，在第6s附近，水管流量大约以19m3/s的速度流出．(12分)【题后反思】导数实质上就是瞬时变化率，它描述物体的瞬时变化率，例如高度h关于时间t的导数就是运动员的瞬时速度，...
