2.4函数与方程2．4.1函数的零点【课标要求】1．理解函数零点的概念．2．会求一次函数、二次函数的零点．3．初步了解函数的零点、方程的根、函数图象与x轴交点的横坐标之间的关系．【核心扫描】1．求函数的零点．(重点)2．判断零点个数及二次函数根的分布．(难点)自学导引1．零点的定义：一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零，即，则α叫做这个函数的．f(α)＝0零点2．二次函数零点的个数：对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，有(1)当Δ＝b2－4ac>0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有的实数根，这时说二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有零点；两个不等两个(2)当Δ＝b2－4ac＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有的实数根(重根)，这时说二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有零点或者说有零点；(3)当Δ＝b2－4ac<0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，这时说二次函数y＝ax2＋bx＋c没有零点(a≠0)．两个相等一个二重二阶试一试：函数的零点与方程的根及函数图象有何关系？提示函数f(x)的零点，即对应方程f(x)＝0的根，也是函数图象与x轴的交点横坐标．想一想：函数的零点就是点，任何函数都有零点，对吗？提示不对．函数的零点不是点，而是函数y＝f(x)与x轴交点的横坐标，即零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时其函数值为零．函数f(x)＝1x无零点，因为方程1x＝0无实根，因此，并非所有的函数都有零点．名师点睛1．函数零点的理解(1)函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零．(2)函数的零点也就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．(3)求函数的零点最直接的方法就是求方程f(x)＝0的根．2．函数零点的性质(1)当函数的图象通过零点且穿过x轴时，函数值变号．(2)相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.题型一求函数的零点【例1】求下列函数的零点．①f(x)＝－x2－2x＋3；②f(x)＝x3－x2－4x＋4.[思路探索]即求相应方程的根．解(1)令f(x)＝0即－x2－2x＋3＝0，解得：x1＝1或x2＝－3，所以所求函数的零点为1，－3.(2)f(x)＝x3－x2－4x＋4＝x2(x－1)－4(x－1)＝(x－2)(x＋2)(x－1)，令f(x)＝0，则(x－2)(x＋2)(x－1)＝0，解得：x1＝－2，x2＝1，x3＝2.所以所求函数的零点为－2,1,2.规律方法函数零点的求法：(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根；(2)几何法：对于不能用求根公式的方程f(x)＝0，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．【训练1】求函数y＝x3－3x2－2x＋6的零点．解令y＝0，即x3－3x2－2x＋6＝0，由于x3－3x2－2x＋6＝(x2－2)(x－3)＝0.解得：x1＝3，x2＝－2，x3＝2，所以函数的零点为－2，2，3.题型二函数零点个数问题【例2】若函数f(x)＝ax2－x－1仅有一个零点，求实数a的取值范围．[思路探索]按a的取值分一次函数、二次函数判断．解①若a＝0，则f(x)＝－x－1为一次函数，易知函数仅有一个零点；②若a≠0，则函数f(x)为二次函数，若其只有一个零点，则方程ax2－x－1＝0仅有一个实数根(也可说成有两个相等的实数根)，故判别式Δ＝1＋4a＝0，a＝－14.综上，当a＝0或a＝－14时，函数仅有一个零点．规律方法判断或求形如函数y＝ax2＋bx＋c的零点时，首先对a分a≠0和a＝0两种情况讨论，然后对a≠0的情况，利用判别式去判别相应一元二次方程根的情况，即可判断函数零点的情况．【训练2】判断下列函数的零点个数．(1)f(x)＝x2－7x＋12；(2)f(x)＝x2－1x.解(1)由f(x)＝0即x2－7x＋12＝0，得Δ＝49－4×12＝1>0，∴方程x2－7x＋12＝0有两个不等的实数根．∴函数f(x)有两个零点．(2)法一由x2－1x＝0得x2＝1x，令h(x)＝x2(x≠0)，g(x)＝1x，在同一坐标系中画出h(x)和g(x)的图象知两图象只有一个交点，故函数有一个零点．法二令f(x)＝0得x2－1x＝0即x3－1＝0(x≠0)，∴x＝1，即方程只有一个根．∴函数有一个零点．题型三函数零点性质的应用【例3】关于x的方程x2－2x＋a＝0.求a为何值时：(1)方程一根大于1，一根小于1；(2)方程一个根在(－1,1)内，另一个根在(2,3)内；(3)方程的两个根都大于零？审题指导本题综合考查了二次函数的图象，方程的根及函数零点的关系．【解题流程】画出符合题意草图―→列出关于a的不等式―...
