4.1平面向量的坐标表示VIP免费

知识点1向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.知识点2向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，a为坐标平面内的任意向量，以坐标原点O为起点作OP→＝a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y使得OP→xi＋yj，因此a＝xi＋yj，则实数对(x，y)叫做向量a的坐标，a＝(x，y)叫做向量a的坐标表示．讲重点对向量的坐标表示的理解(1)a＝xi＋yj是根据平面向量基本定理得出的，因此，x，y既是存在的又是唯一的；(2)向量a有两种写法，即a＝xi＋yj＝(x，y)；(3)由向量的坐标的定义得：i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)；(4)两向量相等当且仅当它们的坐标相等．释疑点点的坐标与向量的坐标的关系在平面直角坐标系中，由于相等向量的存在，因此平面内所有与a相等的向量，都可以由以原点O为起点的向量OP→来表示，其中a＝OP→，由于a＝(x，y)，所以OP→＝(x，y)，因此点P的位置被向量a唯一确定，此时(x，y)即是点P的坐标．这里的点P的坐标之所以与向量的坐标一致，关键就在于起点为坐标原点O.换句话说，若起点不是坐标原点O，则其相应的终点的坐标便不再是向量的坐标．若两个向量坐标相同，则这两个向量为相等向量．在直角坐标系中，点和向量都可以看作是有序实数对的直观形象.知识点3平面向量的坐标运算(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和．(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a－b＝(x1－x2，y1－y2)，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差．(3)若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝(λx，λy)，即实数与向量积的坐标等于实数与向量的相应坐标的乘积．类型一平面向量的坐标表示【例1】在直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向如图所示，且|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，分别计算出它们的坐标．思维启迪：题目中给出了向量a、b、c的模以及与坐标轴的夹角，要求向量的坐标，先将向量正交分解，把它们分解为横、纵坐标的形式，然后写出其相应的坐标．解析：设a＝(x1，y1)，则x1＝2·cos45°＝2，y1＝2·sin45°＝2，∴a＝(2，2)．设b＝(x2，y2)，则x2＝3·cos120°＝－32，y2＝3·sin120°＝332，∴b＝－32，332.设c＝(x3，y3)，x3＝4·cos330°＝23，y3＝4·sin330°＝－2，∴c＝(23，－2).向量的坐标表示是向量的另一种表示方法，从以下两个方面考虑：一是相等向量的坐标相同，二是当向量的始点在原点时，终点坐标即为向量的坐标．变式训练1(1)如图所示，在正方形ABCD中，O为中心，且OA→＝(－1，－1)，试求OB→、OC→、OD→的坐标．(2)已知点O是坐标原点，点A在第一象限，|OA→|＝43，∠xOA＝60°，求向量OA→的坐标．解析：(1)OC→＝－OA→＝(－1)×(－1，－1)＝(1,1)．由正方形的对称性得B(1，－1)，∴OB→＝(1，－1)，同理OD→＝(－1,1)．(2)如图所示，利用三角函数的定义，可得：sin60°＝y|OA→|，cos60°＝x|OA→|，所以y＝|OA→|·sin60°＝43×32＝6，x＝|OA→|·cos60°＝43×12＝23，∴A(23，6)，∴OA→＝(23，6).类型二平面向量的坐标运算【例2】(1)已知A(－1,2)，B(2,3)，C(3，－1)，且AD→＝2AB→－3BC→，求点D的坐标；(2)设向量a，b的坐标分别是(－1,2)，(3，－5)，求a＋b，a－b,3a,2a＋3b的坐标．思维启迪：题目(1)中给出了点的坐标，可运用终点坐标减去起点坐标得到相应向量的坐标，然后再进行运算；题目(2)中分别给出了两向量的坐标，欲求a，b的和，差或数乘向量的坐标，可根据向量的直角坐标运算法则进行．解析：(1)由题知AB→＝(3,1)，BC→＝(1，－4)，∴AD→＝2AB→－3BC→＝2(3,1)－3(1，－4)＝(3,14)．又 AD→＝OD→－OA→，∴OD→＝AD→＋OA→＝(3,14)＋(－1,2)＝(2,16)．即点D的坐标为(2,16)．(2)a＋b＝(－1,2)＋(3，－5)＝(－1＋3,2－5)＝(2，－3)；a－b＝(－1,2)－(3，－5)＝(－1－3,2＋5)＝(－4,7)；3a＝3(－1,2)＝(－3,6)；2a＋3b＝2(－1,2)＋3(3，－5)＝(－2,4)＋(9，－15)＝(－2＋9,4－15)＝(7，－11).向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，条件中如果知道的是起始点的坐...