§3解三角形的实际应用举例陕西省西安市第八中学马晓革1.会用正弦、余弦定理解决生产实践中有关不可到达点距离的测量问题.2.培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力.学习目标思考知识点一常用角试画出“北偏东60°”和“南偏西45°”的示意图.答案梳理在解决实际问题时常会遇到一些有关角的术语，请查阅资料后填空：(1)方向角指北或指南方向线与目标方向所成的小于度的角.(2)仰角与俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平线时叫仰角，目标视线在水平线时叫俯角.(如右图所示)90上方下方知识点二测量方案思考可以在地球上选两点，与月亮构成三角形，测量地球上两点的距离和这两点看月亮的视角，通过解三角形求得地月距离.如何不登月测量地月距离？答案梳理测量某个量的方法有很多，但是在实际背景下，有些方法可能没法实施，比如解决不能到达的实际测量问题.这个时候就需要设计方案绕开障碍间接地达到目的.设计测量方案的基本任务是把目标量转化为可测量的量，并尽可能提高精确度.一般来说，基线越长，精确度越高.题型探究类型一测量不可到达点间的距离例1如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，∠BAC＝51°，∠ACB＝75°.求A、B两点间的距离(精确到0.1m).解答反思与感悟解决实际测量问题的过程一般要充分理解题意，正确作出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解.训练1要测量对岸两点A、B之间的距离，选取相距km的C、D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，则A、B之间的距离为km.35答案解析类型二测量高度例2如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角α＝54°40′，在塔底C处测得A处的俯角β＝50°1′.已知铁塔BC部分的高为27.3m，求出山高CD(精确到1m).解答反思与感悟利用正弦、余弦定理来解决实际问题时，要从所给的实际背景中，进行加工、提炼，抓住本质，抽象出数学模型，使之转化为解三角形问题.训练2江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距m.设两条船所在位置分别为A、B两点，炮台底部所在位置为C点，在△ABC中，由题意可知AC＝30tan30°＝303(m)，BC＝30tan45°＝30(m)，C＝30°，AB2＝(303)2＋302－2×303×30×cos30°＝900，所以AB＝30(m).30答案解析类型三航海中的测量问题例3如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行67.5nmile后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东32°的方向航行54.0nmile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C，此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离？(角度精确到0.1°，距离精确到0.01nmile)解答反思与感悟解决航海问题一要搞清方位角(方向角)，二要弄清不动点(三角形顶点)，然后根据条件，画出示意图，转化为解三角形问题.训练3甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？解答3a当堂训练A.102nmileB.103nmileC.202nmileD.203nmile1.一艘海轮从A处出发，以40nmile/h的速度沿南偏东40°方向直线航行，30min后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是答案解析123√42.甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是.1234答案解析甲楼的高为20tan60°＝20×3＝203(米)；乙楼的高为203－20tan30°＝203－20×33＝4033(米).203米、4033米由题意知∠ABC＝30°，3.如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，求A、B两点的距离.1234由正弦定理ACsin∠ABC＝ABsin∠ACB，故AB＝AC·sin∠ACBsin∠ABC＝50×2212＝502(m).解答12344.为测量某塔的高度，在A，B两点进...
