一元二次函数问题的探究（高三复习）以二次函数为载体考察数学知识与能力的题型日趋丰富多彩学生又无所适从的感觉，本文就各地的模拟试题进行探讨并归纳其求解方法与技巧供学习参考。一：设解析式法求解：二次函数有三种表示式；①一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)②根式y=a(x-α)(x-β)(α、β是f(x)≠0的两根)③顶点式：y=a(x-h)2+k(h、k为顶点横、纵坐标)。题1：设f(x)=x2+ax+b若方程f(x)=0两个非整数根,且这两实根在相邻两整数之间,证明存在整数k使得|f(k)|≤证明:设f(x)=0的两根为α、β且n≤α、β≤n+1(n∈z)f(x)=x2+ax+b=(x-α)(x-β)f(n)=(n-α)(n-β)f(n+1)=(n+1-α)(n+1-β)|f(n)f(n+1)|=|(α-n)(β-n)(n+1-α)(n+1-β)|≤=f(n)f(n+1)≤，则∣f(n)∣≤或∣f(n+1)∣≤必有一个成立。二：替代法求证：即把a、b、c用已知的函数值代替这是一种常用的方法题2：已知f(x)=ax2+bx+c,若x∈[–1,1]均有|f(x)|≤1设g(x)=cx2+bx+ax∈[–1,1]求证：|g(x)|≤2证明：依题知：f(0)=cc=f(0)f(1)=a+b+ca=-f0)f(-1)=a-b+cb=g(x)=|f(0)(x2-1)+(x+1)+(1-x)|≤|f(0)||(x2-1)|+|||(x+1)|+|||(1-x)|≤|f(0)|+(|x+1|+|1-x|)(∴-1≤x≤1∵∣x+1∣+∣1-x∣=2)1≤2三：特值法求证：已知f(x)=x2+ax+b当x∈[-1,1]f(x)的最大值为M求证:M≥证明:|f(x)|≤Mx∈[-1,1]取x=0,1,2得|f(0)|≤M|b|≤M|f(1)|≤M|a+b+1|≤M|f(-1)|≤M|1-a+B|≤M4M≥|-2b|+|a+b+1|+|b-a+1|≥2M≥四：判别式法求证：ax2+bx+c≥0对x∈R恒成立则a>0或a=b=0b2-4ac≤0c≥0对有恒成立这类问题求解最实用题4：已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R)a-b+c=0对任意的x有f(x)-x≥0并且x∈[0,2]时有f(x)≤()2①求f(1)的值②求证：ac=1:解∵f(x)≥x∴f(1)≥1又∵f(x)≤()2f(1)≤1∴f(1)=12:证：a-b+c=0a+b+c=0b=∴a+c=∵f(x)-x=ax2-x+c≥0(x∈R)恒成立∴a>0△=-4ac≤0a>0ac≥又∵ac=a(-a)=-(a-)2+≤ac=五：端点最值法求解：二次函数y=f(x)取最值点在区间的端点或顶点把握这点是证题的关键如题5：设f(x)=x2+ax+b①x∈[-1,1]时f(x)的最大值为M证明M≥b+12②：当0
