一题多解曲线的公切线VIP免费

一题多解（1）--曲线的公切线例：（2016全国2卷16）若直线ykxb是曲线ln2yx的切线，也是曲线ln(1)yx的切线，则b______.【分析】考查了导数的几何意义、曲线公切线方程的求解，是基础中档题，难点是整体法消元解方程组。【解析】方法一、常规解法：设ykxb与ln2yx和ln(1)yx分别切于点11(,)xy、22(,)xy.则曲线ln2yx的切线方程为：111ln1yxxx.曲线ln(1)yx的切线方程为：22221ln(1)+1+1xyxxxx.12212211+1ln1ln(1)+1xxxxxx，即122122lnln(1ln1ln(1)+1xxxxxx），解得112x，212x1ln11ln2bx.方法二、参数法：设ykxb与ln2yx和ln(1)yx分别切于点11(,)xy、22(,)xy.则11kx、21+1kx，即11xk、211xk.1122ln22lnln(1)lnyxkyxk，而112211ykxbbykxbkb，故2ln1ln1kbkkb两式相减得：2k，所以1ln2b.方法三、数形结合法（平移）：设ykxb与ln2yx和ln(1)yx分别切于点11(,)xy、22(,)xy.函数ln2yx和ln(1)yx都是由lnyx平移而来，一个向上平移2单位，一个向左平移1单位，故切线的斜率2k.（只有是同一个函数平移成两函数，才能应用）由ln2yx得2k11x，即112x，故11ln22ln2yx将切点1(,2ln2)2代入2yxb，可得1ln2b.深化应用：1．若曲线212yxe与曲线lnyax在它们的公共点(,)Pst处具有公共切线，则实数a的值为()A．2B．12C．1D．2C【解析】曲线212yxe的导数为：'1yxe，在(,)Pst处的斜率为：ske；曲线lnyax的导数为：'ayx，在(,)Pst处的斜率为：aks．曲线212yxe与曲线lnyax在它们的公共点(,)Pst处具有公共切线，可得saes，并且212tse，lntas，即21ln2saessase，解得1ln2s，解得2se．可得1a．2．若曲线21:(0)Cyaxa与曲线2:xCye存在公共切线，则a的取值范围为（）A．2[,)8eB．2(0,]8eC．2[,)4eD．2(0,]4eC【解析】21:(0)Cyaxa，'2yax；2:xCye，'xye．设公切线与21:(0)Cyaxa切于点211(,)xax，与2:xCye切于22(,)xxe，则22211212xxeaxaxexx，可得2122xx，所以11212xeax；记1121()2xefxx，则112'21(2)()(2)xexfxx，知在(0,2)x时，'()0fx，即()fx在(0,2)x上单调递减，(2,)x时，'()0fx，即()fx在(2,)x上单调递增，2min()4efx，故2[,)4ea.3．已知函数20ln0xxaxfxxx，若函数fx的图象在点A、B处的切线重合，则a的取值范围是()A．(1,)B．(ln2,)C．(2,1)D．1,2A【解析】设11(,)Axy、22(,)Bxy为此函数上两点，且12xx，观察函数图像可知120xx，则函数fx在11(,)Axy处切线方程为21111()(21)()yxxaxxx，即211(21)yxxxa；函数fx在22(,)Bxy处切线方程为2221ln()yxxxx，即221ln1yxxx；依题意两切线重合，知12212121ln1xxxax，由120xx知2101x。所以22122211ln1(1)ln14axxxx，令21(01)ttx，设函数21()(1)ln1(01)4gtttt，则'11(1)(2)()(1)022ttgtttt，所以()gt在01t上是单调递减函数，则()(1)1gtg，又当0t时，()gt，所以a的取值范围是(1,)．【点拨】从切线重合（即同一条切线）得到两切点的关系，转化所求变量a与其中一个切点变量的函数关系，考查化归转化与函数的思想，构造函数，并注意函数自变量的范围，通过求导确定函数单调性得到函数值域也即所求参数范围．