一题多解(1)--曲线的公切线例:(2016全国2卷16)若直线ykxb是曲线ln2yx的切线,也是曲线ln(1)yx的切线,则b______.【分析】考查了导数的几何意义、曲线公切线方程的求解,是基础中档题,难点是整体法消元解方程组。【解析】方法一、常规解法:设ykxb与ln2yx和ln(1)yx分别切于点11(,)xy、22(,)xy.则曲线ln2yx的切线方程为:111ln1yxxx.曲线ln(1)yx的切线方程为:22221ln(1)+1+1xyxxxx.12212211+1ln1ln(1)+1xxxxxx,即122122lnln(1ln1ln(1)+1xxxxxx),解得112x,212x1ln11ln2bx.方法二、参数法:设ykxb与ln2yx和ln(1)yx分别切于点11(,)xy、22(,)xy.则11kx、21+1kx,即11xk、211xk.1122ln22lnln(1)lnyxkyxk,而112211ykxbbykxbkb,故2ln1ln1kbkkb两式相减得:2k,所以1ln2b.方法三、数形结合法(平移):设ykxb与ln2yx和ln(1)yx分别切于点11(,)xy、22(,)xy.函数ln2yx和ln(1)yx都是由lnyx平移而来,一个向上平移2单位,一个向左平移1单位,故切线的斜率2k.(只有是同一个函数平移成两函数,才能应用)由ln2yx得2k11x,即112x,故11ln22ln2yx将切点1(,2ln2)2代入2yxb,可得1ln2b.深化应用:1.若曲线212yxe与曲线lnyax在它们的公共点(,)Pst处具有公共切线,则实数a的值为()A.2B.12C.1D.2C【解析】曲线212yxe的导数为:'1yxe,在(,)Pst处的斜率为:ske;曲线lnyax的导数为:'ayx,在(,)Pst处的斜率为:aks.曲线212yxe与曲线lnyax在它们的公共点(,)Pst处具有公共切线,可得saes,并且212tse,lntas,即21ln2saessase,解得1ln2s,解得2se.可得1a.2.若曲线21:(0)Cyaxa与曲线2:xCye存在公共切线,则a的取值范围为()A.2[,)8eB.2(0,]8eC.2[,)4eD.2(0,]4eC【解析】21:(0)Cyaxa,'2yax;2:xCye,'xye.设公切线与21:(0)Cyaxa切于点211(,)xax,与2:xCye切于22(,)xxe,则22211212xxeaxaxexx,可得2122xx,所以11212xeax;记1121()2xefxx,则112'21(2)()(2)xexfxx,知在(0,2)x时,'()0fx,即()fx在(0,2)x上单调递减,(2,)x时,'()0fx,即()fx在(2,)x上单调递增,2min()4efx,故2[,)4ea.3.已知函数20ln0xxaxfxxx,若函数fx的图象在点A、B处的切线重合,则a的取值范围是()A.(1,)B.(ln2,)C.(2,1)D.1,2A【解析】设11(,)Axy、22(,)Bxy为此函数上两点,且12xx,观察函数图像可知120xx,则函数fx在11(,)Axy处切线方程为21111()(21)()yxxaxxx,即211(21)yxxxa;函数fx在22(,)Bxy处切线方程为2221ln()yxxxx,即221ln1yxxx;依题意两切线重合,知12212121ln1xxxax,由120xx知2101x。所以22122211ln1(1)ln14axxxx,令21(01)ttx,设函数21()(1)ln1(01)4gtttt,则'11(1)(2)()(1)022ttgtttt,所以()gt在01t上是单调递减函数,则()(1)1gtg,又当0t时,()gt,所以a的取值范围是(1,).【点拨】从切线重合(即同一条切线)得到两切点的关系,转化所求变量a与其中一个切点变量的函数关系,考查化归转化与函数的思想,构造函数,并注意函数自变量的范围,通过求导确定函数单调性得到函数值域也即所求参数范围.