与圆有关的比例线段VIP专享VIP免费

12017-2018学年高中数学人教A版选修4-1创新应用教学案五与圆有关的比例线段[对应学生用书P31]1．相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．如图，弦AB与CD相交于P点，则PA·PB＝PC·PD.2．割线有关定理(1)割线定理：①文字叙述：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．②图形表示：如图，⊙O的割线PAB与PCD，则有：PA·PB＝PC·PD.(2)切割线定理：①文字叙述：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；②图形表示：如图，⊙O的切线PA，切点为A，割线PBC，则有PA2＝PB·PC.3．切线长定理(1)文字叙述：从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．(2)图形表示：如图：⊙O的切线PA，PB，则PA＝PB，∠OPA＝∠OPB.[对应学生用书P32]相交弦定理[例1]如图，已知在⊙O中，P是弦AB的中点，过点P作半径OA的垂线分别交⊙O于C、D两点，垂足是点E.求证：PC·PD＝AE·AO.2[思路点拨]由相交弦定理知PC·PD＝AP·PB，又P为AB的中点，∴PC·PD＝AP2.在Rt△PAO中再使用射影定理即可．[证明]连接OP， P为AB的中点，∴OP⊥AB，AP＝PB. PE⊥OA，∴AP2＝AE·AO. PD·PC＝PA·PB＝AP2，∴PD·PC＝AE·AO.(1)相交弦定理的运用往往与相似三角形联系密切，也经常与垂径定理、射影定理等相结合进行某些计算与证明．(2)由相交弦定理可得推论：垂直于弦的直径平分这条弦，且弦的一半是直径被弦分成的两条线段的比例中项．1.如图，已知⊙O的两条弦AB，CD相交于AB的中点E，且AB＝4，DE＝CE＋3，则CD的长为()A．4B．5C．8D．10解析：设CE＝x，则DE＝3＋x.根据相交弦定理，得x(x＋3)＝2×2，x＝1或x＝－4(不合题意，应舍去)．则CD＝3＋1＋1＝5.答案：B2.如图，已知AB是⊙O的直径，OM＝ON，P是⊙O上的点，PM、PN的延长线分别交⊙O于Q、R.求证：PM·MQ＝PN·NR.证明：OM＝ONOA＝OB?AM＝BNBM＝ANPM·MQ＝AM·MBPN·NR＝BN·AN?PM·MQ＝PN·NR.割线定理、切割线定理[例2]如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，ADE，CFD，CGE都是⊙O的割线，已知AC＝AB.3证明：(1)AD·AE＝AC2；(2)FG∥AC.[思路点拨](1)利用切割线定理；(2)证△ADC∽△ACE.[证明](1) AB是⊙O的一条切线，ADE是⊙O的割线，∴由切割线定理得AD·AE＝AB2.又AC＝AB，∴AD·AE＝AC2.(2)由(1)得ADAC＝ACAE，又∠EAC＝∠DAC，∴△ADC∽△ACE.∴∠ADC＝∠ACE.又∠ADC＝∠EGF，∴∠EGF＝∠ACE.∴FG∥AC.(1)割线定理、切割线定理常常与弦切角定理、相交弦定理、平行线分线段成比例定理、相似三角形知识结合在一起解决数学问题，有时切割线定理利用方程进行计算、求值等．(2)切割线定理可以看成是割线定理的特殊情况，当两条割线中的一条变成切线时，即为切割线定理．3．如图，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D.若PA＝3，PD∶DB＝9∶16，则PD＝________；AB＝________.解析： PD∶DB＝9∶16，不妨设PD＝9a，DB＝16a(a>0)，∴PB＝25a.由切割线定理知PA2＝PD·PB，即9＝9a×25a，∴a＝15.∴PD＝95.在直角三角形PAB中，PA＝3，PB＝5，可知AB＝4.答案：9544.如图，AD为⊙O的直径，AB为⊙O的切线，割线BMN交AD的延长线于C，且BM4＝MN＝NC，若AB＝2.求：(1)BC的长；(2)⊙O的半径r.解：(1)不妨设BM＝MN＝NC＝x.根据切割线定理，得AB2＝BM·BN，即22＝x(x＋x)，解得x＝2，∴BC＝3x＝32.(2)在Rt△ABC中，AC＝BC2－AB2＝14，由割线定理，得CD·AC＝CN·CM，由(1)可知，CN＝2，BC＝32，CM＝BC－BM＝32－2＝22，AC＝14，∴CD＝CN·CMAC＝2147，∴r＝12(AC－CD)＝1214－2147＝51414.切线长定理[例3]如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的切线与过A、B两点的切线分别交于点E、F，AF与BE交于点P.求证：∠EPC＝∠EBF.[思路点拨]切线长定理→EA＝EC，FC＝FB→ECFC＝EPPB→CP∥FB→结论[证明] EA，EF，FB是⊙O的切线，∴EA＝EC，FC＝FB. EA，FB切⊙O于A，B，AB是直径，∴EA⊥AB，FB⊥AB.∴EA∥FB.∴EABF＝EPBP.∴ECFC＝EPPB.∴CP∥FB.∴∠EPC＝∠EBF.运用切线长定理时，注意分析其中的等量关系，即①切线长相等，②圆外...