二次函数中45度角的存在性问题，题目一般会有两种形式出现：1.角的顶点坐标已知，2.角的顶点坐标未知，大致可以分为以下几种方法：构造“三垂直”法、构造一线三等角、构造辅助圆、构造“半角模型”等。下面我们将2020年各地中考出现的二次函数中45°角的存在性问题举例说明其解法。一、构造"三垂直”L(2020山西)如图，抛物线yE两点(点力在点召的左侧)，与p轴父于点C•直线/与抛物线交于山，D两点，与y轴父于点£\点D的坐标为(1)请直接写出昇，E两点的坐标及直线/的函数表达式;(2)若点P是抛物线上的点，点P的横坐标为?过点P作尸M丄尤轴，垂足为与直线7父于点斗,当点N是线段尸M的三等分点时，求点尸的坐标;C3)右点Q疋j■'轴上的点r且J^LADQ—45°＞求点。的坐【解答】(1)/(-2,0),巩6,0),直线/的解析式为y二一7—1；（2）如图1,根据题意可知，点尸与点N的坐标分别为1,1-m-3），N（m，——m-1）,4242NP=--m2+-W+2,42分两种情况：①当PM=3MN时，得一［加2+加+3二3（-w+1）,42解得，加=0,或m=-2（舍），••.P（0厂3）；②当FM=3NP时，得一丄加$+加+3二3（—丄加，+丄加+2）,442解得，m=3）或m=—2（舍））P（3,——）；4・•・当点N是线段啟的三等分点时，点尸的坐标为（3厂手）或（0?-3）；（3）①当点Q在y轴负半轴时，构造三垂直如图所示INOACDQFOENC由厶AMF^ADANT可得点F的坐标为(-5,-6),■:直线DF的解析式为：严卜号此时点Q的坐标为CO--〒)匚②当点Q在y轴正半轴时，构造三垂直如图:此时点Q的坐标为(0,9)：综上.点0的坐VA(—2,0),D(4,—3),VA(—2，0)，D〔4,—3),由厶AMF^ADNA,可得点F的坐标为(46),二直线DF的解析式为:?=-3x+9jBEDDEO0二、构造“辅助圆”2.(2020*淄博节选)如图』在直角坐标系中，四边形OACE是平行四边形，经过乂-2,0),B.C三点的抛物线y=ax24-+1(a<0)与工轴的另一个交点为D,其顶点为Mr对称轴与咒轴交于点£?■(D求这条拋物线对应的函数表达式芍⑵己知尸是抛物线对称轴上的点，满足在直线上存在唯一的点0,使得ZPOE=45°,求点戶的坐标.122Sy=--X"+—X+-?frr%J」J(2)(I)当点0在MD之间时,作APEO的外接圆Rt\'ZPOE=45%故ZPRE=90°,则空啟为等腰直角三角形，当在直线MD上存在唯一的点0时，圆R与直线相切,・.・点D的坐标分别为(L3).(4,0)f故函数的对称轴为A=1?则将点/的坐标代入抛物线表达式得:联立①②井解得<1a--5’故抛物线的表达式为:b=-3【箱答】(1)OA=2^BCf贝ljM£*=3,EZ)=4-1=3,贝IjA®二3血,过点R作舶丄ME于点H,设点尸（1,2加），贝^PH=HE=HR=m,则圆R的半径为、佢加,则点R（1+加，加）,S&IED~S&fRD+S迹E+S^RE，即丄XEM-ED=-xMD-RO+-xEDy+-xME-RH,2222/.—x3x3=—x3A/2x忑m+丄x3xzw+—x3x;w,2222解得：加二—，故点戶（1厂）；2（II）当点0与点D重合时，由点M、E、刀的坐标知，ME二ED,即ZMDE=45°；①当点P在*轴上方时，当点P与点M重合时，此时ZPOE=45°,此时点F（l,3）,②当点P在*轴下方时，同理可得：点F（1厂3）,综上，点P的坐标为（1,》或（1,3）或（1,-3）•XBCDPABCD2.(2020*营口节选)在平面直角坐标系中，抛物线y二盗'+加—3过点/(—工0),故设直线"的表达式划严卜+"将点"的坐标代入上式并解得：占=1，【解答】(1)抛物线的表达式为:⑵丁ZPAB=ZBCO,而tanABCO=-,9故直线’妞的表达式为：y^-x+\③,当ZANM二45。时，则ZARAf二90°,设圆心7?的坐标为（加/）?TZ.QRA+二90°1ZMRH十ZRMH二90°,z.MRMH=AGAR,TAR=MR,aGR=ZRHAf二90°,..A.4GR=ARHM（AAS）,AG二幷7+3二RHTRG——n—MH■二点M（m+n,n-m-3）*将点皿的坐标代入抛物线表达式得：科一册一3二（阳+对‘+2{m+打）一3④,由题意得：AR=NR、即（应+3『+/二（附_£）「+（£⑤，联立①③并解得：设A.4MN的外接圆为EH7?J联立④⑤并解得：
