立体几何的向量方法VIP专享VIP免费

第59讲立体几何中的向量法－－－空间角的求法本节是高考重点考查内容，主要考查利用空间向量的坐标运算解决求空间角(异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角)从考查形式看，主要以解答题的形式出现，侧重于考查空间向量的应用，属中档题．基础检测1、[2014·新课标全国卷Ⅱ]直三棱柱ABCA1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为()A.110B.25C.3010D.22C2、（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学）已知正四棱柱1111ABCDABCD中，12AAAB,则CD与平面1BDC所成角的正弦值等于（）A．23B．33C．23D．13A3如图，四棱锥S－ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD＝2，AD＝2.则二面角C－AS－D的余弦值为______．510归纳小结：利用坐标法求空间角的一般步骤：（1）建系（2）写出相关点的坐标（3）求出直线的方向向量或平面的法向量（4）利用公式进行计算知识要点：1、两条异面直线所成的角满足所成的角与则，的方向向量分别为设异面直线212121,llmmll|,cos|cos21mm满足所成的角与平面则直线的法向量分别为的方向向量和平面设直线lnml,2、直线与平面所成的角|,cos|sinnm3、二面角满足大小的法向量，则二面角的，的两个半平面分别是二面角设lnn21,2121,cos,coscosnnnn或例：在四棱锥P—ABCD中，底面是边长为2的正方形，平面PAB⊥平面ABCD，PA＝PB＝5，E为PB的中点．(1)求异面直线PD与CE所成角的余弦值；(2)求PD与平面PCB所成角的正弦值；(3)求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的大小．【解析】取AB的中点O，CD的中点F，连接PO，OF，由PA＝PB得PO⊥AB，又平面PAB⊥平面ABCD，则PO⊥平面ABCD，所以PO⊥OF，PO⊥AB，又底面ABCD为正方形，则OF⊥AB.典例——重点突破以O为坐标原点，OF，OB，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O—xyz，如图所示．从而AB＝CD＝2，PA＝5，则PO＝2，从而O(0，0，0)，P(0，0，2)，A(0，－1，0)，B(0，1，0)，F(2，0，0)，D(2，－1，0)，C(2，1，0)，E0，12，1.(1)∵PD→＝(2，－1，－2)，CE→＝－2，－12，1∴cos〈PD→，CE→〉＝PD→·CE→|PD→||CE→|＝－1123×212＝－112163故异面直线PD与CE所成角的余弦值为112163.(2)∵PD→＝(2，－1，－2)，PC→＝(2，1，－2)，PB→＝(0，1，－2)设平面PBC的法向量n＝(x，y，z)由n·PC→＝2x＋y－2z＝0n·PB→＝y－2z＝0得x＝0y＝2z令z＝1得n＝(0，2，1)cos〈PD→，n〉＝PD→·n|PD→|·|n|＝－43×5＝－4515故直线PD与平面PCB所成角的正弦值为4515.(3)由题设可知OF⊥平面PAB则平面PAB的法向量为OF→＝(2，0，0)又PC→＝(2，1，－2)，PD→＝(2，－1，－2)设平面PCD的法向量为n1＝(x1，y1，z1)由n1·PC→＝2x1＋y1－2z1＝0n1·PD→＝2x1－y1－2z1＝0得y1＝0x1＝z1令z1＝1得n1＝(1，0，1)cos〈OF→，n1〉＝OF→·n1|OF→|·|n1|＝22故平面PAB与平面PCD所成锐二面角为π4.【点评】应用空间向量求空间角，常用坐标法求解，在应用坐标法时，建立空间直角坐标系要讲究恰当，找相关点的坐标要细心，坐标是否准确十分关键．然后利用空间角与相关向量的关系进行计算，最后确定所求值时一定要依据空间角的取值范围和题设情境作出结论．练习——巩固提高1、（2013湖南第19题改编）如图5，在直棱柱1111//ABCDABCDADBC中，，190,,1,3.BADACBDBCADAA求直线111BCACD与平面所成角的正弦值。7212、（2014山东17题改编）如图，在四棱柱1111ABCDABCD中，底面ABCD是等腰梯形，60DAB，22ABCD，M是线段AB的中点.若1CD垂直于平面ABCD且13CD，求平面11CDM和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值.55总结提升利用坐标法求空间角要注意：选坐标系要恰当，找点的坐标要细心，运用公式和计算要准确，作结论要结合角的范围