2009(选修2-13.2.3空间角的计算上课VIP专享VIP免费

ZPZ空间“角度”问题空间向量的引入为代数方法处理立体几何问题提供了一种重要的工具和方法，解题时，可用定量的计算代替定性的分析，从而避免了一些繁琐的推理论证。求空间角与距离是立体几何的一类重要的问题，也是高考的热点之一。我们主要研究怎么样用向量的办法解决空间角的问题。空间的角：空间的角常见的有：线线角、线面角、面面角。空间两条异面直线所成的角可转化为两条相交直线所成的锐角或直角。故我们研究线线角时，就主要求范围内的角；(0,]2斜线与平面所成的角是指斜线与它在面内的射影所成锐角，再结合与面垂直、平行或在面内这些特殊情况，线面角的范围也是；[0,]2两个平面所成的角是用二面角的平面角来度量。它的范围是。[0,]总之，空间的角最终都可以转化为两相交直线所成的角。因此我们可以考虑通过两个向量的夹角去求这些空间角。异面直线所成角的范围：0,2ABCD1D,�与的关系？CDAB思考：,�与的关系？DCAB结论：|cos,|ab||一、线线角：ab，ab，设直线的方向向量为，的方向向量为CAaBbDaabb所以与所成角的余弦值为A1AB1BC1C1D1Fxyz解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系,如图所示，设则：Cxyz11CC(1,0,0),(0,1,0),AB11111(,0,1),(,,1)222FD所以：11(,0,1),2�AF111(,,1)22�BD11cos,�AFBD1111||||��AFBDAFBD113041053421BD1AF3010例一：090,中，现将沿着RtABCBCAABC平面的法向量ABC1，BCCACC11求与所成的角的余弦值.BDAF111平移到位置，已知ABC1111取、的中ABAC111111取、的中点、，ABACDF练习：在长方体中，1111ABCDABCD58,ABAD=，14,AA1112,为上的一点,且MBCBM1点在线段上，NAD1.ADAN1.(1)求证：ADAMABCD1A1B1C1DMNxyz(0,0,0),A(5,2,4),�AM1(0,8,4),�AD10�＝AMAD1.ADAM（2）求与平面所成的角.ADANM1(0,0,4),A(0,8,0),D(5,2,4)M简解：2nBA��，直线与平面所成角的范围：[0,]2ABO,��设平面的法向量为，则与的关系？nnBA思考：结论：sin|cos,|��nAB二、线面角：nnBAAB2nBA��，例1：1111ABCDABCD的棱长为1.111.BCABC求与面所成的角正方体ABCD1A1B1C1Dxyz(000)A，，，1(101)B，，，(110)C，，，设正方体棱长为1，1ABADAA�，，为单以1(101)(110)ABAC�，，，，，1(111)C，，，11(010)BC�则，，，1()ABCnxyz设为，，平面的法向量100nABnAC��则，0=10==-1xzxyn=(1-1-1)，，，，，，xyz所以取得故位正交基底，可得110103cos313nBC�，1113所以与面所成的角的正弦值为。3BCABCll三、面面角：二面角的范围：[0,]①法向量法1n�1n�2n�2n�12nn�，12nn�，12nn�，12nn�，cos12cos,�nncos12cos,�nn注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角l将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。如图，设二面角的大小为，其中l,,,ABlABCDlCDcoscos,ABCDABCDABCD���DCBA三、面面角：②方向向量法：二面角的范围：[0,]例、已知在一个二面角的棱上有两个点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，AB=4cm，AC=6cm，BD=8cm，CD=217cm，求二面角的度数CDAB222222()(217)6482cos,CDCAABBDCABDCABD��1cos,21cos,2CABDACBD��3E①证明：以为正交基底，建立空间直角坐标系如图。则可得1DADCDD�、、1(200)(020)(001)(222)(110)ACMBO，，，，，，，，，，，，，，。1(201)(021)(112)MAMCBO��所以，，，，，，，，1120200220BOMABOMC�，11BOMABOMC�所以，11BOMABOMCMAMCC即，。...