[第21讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式](时间：45分钟分值：100分)1．在△ABC中，如果sinA＝sinC，B＝30°，那么角A等于()A．30°B．45°C．60°D．120°2．已知sinθ＝，且sinθ－cosθ>1，则sin2θ＝()A．－B．－C．－D.3．[2013·河南师大附中检测]已知π<θ<π，则＝________．4．函数y＝2cos2x＋sin2x的最小值是________．5．已知sin2α＝，tan(α－β)＝，则tan(α＋β)＝()A．－2B．－1C．－D.6．若α∈，且sin2α＋cos2α＝，则tanα的值等于()A.B.C.D.7．在△ABC中，C＝120°，tanA＋tanB＝，则tanAtanB的值为()A.B.C.D.8．[2013·北京石景山区一模]已知α是第二象限角，且sin(π＋α)＝－，则tan2α的值为()A.B．－C．－D．－9．若sin2α＝，0<α<，则cos的值为()A.B．－C.D．±10．[2013·河南重点高中调研]函数f(x)＝sin2x＋cos2x＋的最小值是________．11．已知tan2θ＝，则的值为________．12．若3sinα＋cosα＝0，则的值为________．.13．若tanα＝lg(10a)，tanβ＝lg，且α＋β＝，则实数a的值为________．14．(10分)[2013·广东卷]已知函数f(x)＝2cos(其中ω>0，x∈R)的最小正周期为10π.(1)求ω的值；(2)设α，β∈，f＝－，f＝，求cos(α＋β)的值．115．(13分)[2013·安阳模拟]设向量a＝(cos(α＋β)，sin(α＋β))，b＝(cos(α－β)，sin(α－β))，且a＋b＝，.(1)求tanα；(2)求.16．(12分)[2013·福建卷]某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．2课时作业(二十一)【基础热身】1．D[解析]∵△ABC中，B＝30°，∴C＝150°－A，∴sinA＝sin(150°－A)＝cosA＋sinA，∴tanA＝－，∴A＝120°.2．A[解析]由题意可知cosθ＝－，所以sin2θ＝2sinθcosθ＝－，故选择A.3．sin[解析]∵π<θ<，∴<<，<<.＝＝＝sin.4．1－[解析]y＝2cos2x＋sin2x＝sin2x＋cos2x＋1＝sin＋1≥1－.【能力提升】5．A[解析]根据已知cos2α＝－，tan2α＝－，tan(α＋β)＝tan[2α－(α－β)]＝＝＝－2.6．D[解析]∵sin2α＋cos2α＝，∴sin2α＋(1－2sin2α)＝，又∵α∈，∴cosα＝，sinα＝，∴tanα＝.7．B[解析]∵C＝120°，∴A＋B＝60°，∴tan(A＋B)＝＝，∵tanA＋tanB＝，∴tanAtanB＝.8．C[解析]由sin(π＋α)＝－，得sinα＝，又α是第二象限角，故cosα＝－＝－，∴tanα＝－，tan2α＝＝＝－.9．C[解析]∵cos＝sinα＋cosα，∴＝(sinα＋cosα)2＝1＋sin2α＝1＋＝.∵0<α<，∴－<－α<0，－<－α<，∴cos>0，∴cos＝.10.(－1)[解析]f(x)＝＝＝sin2xcos2x＋－≥(－1)．11．－[解析]∵tan2θ＝＝，∴tanθ＝－3或tanθ＝，又θ∈，∴tanθ＝－3，∴＝＝＝＝－.12.[解析]由3sinα＋cosα＝0得cosα＝－3sinα，则＝＝＝.13．1或[解析]tan(α＋β)＝1⇒＝＝1⇒lg2a＋lga＝0，所以lga＝0或lga＝－1，即a＝1或.14．解：(1)由＝10π得ω＝.(2)∵－＝f＝2cos＝2cos＝－2sinα，＝f＝2cos＝2cosβ，∴sinα＝，cosβ＝.∵α，β∈，∴cosα＝＝＝，sinβ＝＝＝.∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝－.15．解：(1)a＋b＝(cosαcosβ－sinαsinβ＋cosαcosβ＋sinαsinβ)，sinαcosβ＋cosαsinβ＋sinαcosβ－cosαsinβ＝(2cosαcosβ，2sinαcosβ)＝，∴2cosαcosβ＝，2sinαcosβ＝，∴tanα＝.(2)＝＝＝－.【难点突破】16．解：方法一：(1)选择②式，计算如下：sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－sin30°＝1－＝.(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝.证明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝sin2α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)2－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)＝sin2α＋cos2α＋sinαcosα＋sin2α－sinαcosα－sin2α＝sin2α＋cos2α＝.方法二：(1)同方法一．(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝.3证明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝＋－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)＝－cos2α＋＋(cos60°cos2α＋sin60°sin2α)－sinαcosα－sin2α＝－cos2α＋＋cos2α＋sin2α－sin2α－(1－cos2α)＝1－cos2α－＋cos2α＝.课时作业(二十二)4
