初中数学竞赛专题选讲函数的图象一、内容提要1.函数的图象定义：在直角坐标系中，以自变量x为横坐标和以它的函数y的对应值为纵坐标的点的集合，叫做函数y=f(x)的图象.例如一次函数y=kx+b(k,b是常数，k≠0)的图象是一条直线l.①l上的任一点p0(x0,y0)的坐标，适合等式y=kx+b,即y0=kx0+b；②若y1=kx1+b，则点p1(x1,y1)在直线l上.2.方程的图象：我们把y=kx+b看作是关于x,y的二元一次方程kx－y+b=0,那么直线l就是以这个方程的解为坐标的点的集合，我们把这条直线叫做二元一次方程的图象.二元一次方程ax+by+c=0(a,b,c是常数，a≠0,b≠0)叫做直线方程.一般地，在直角坐标系中，如果某曲线是以某二元方程的解为坐标的点的集合，那么这曲线就叫做这个方程的图象.例如：二元二次方程y=ax2+bx+c(a≠0)(即二次函数)的图象是抛物线；二元分式方程y=(k≠0)(即反比例函数)的图象是双曲线.3.函数的图象能直观地反映自变量x与函数y的对应规律.例如：①由图象的最高，最低点可看函数的最大，最小值；②由图象的上升，下降反映函数y是随x的增大而增大(或减小)；③函数y=f(x)的图象在横轴的上方，下方或轴上，分别表示y>0,y<0,y=0.图象所对应的横坐标就是不等式f(x)>0,f(x)<0的解集和方程f(x)=0的解.④两个函数图象的交点坐标，就是这两个图象所表示的两个方程(即函数解析式)的公共解.等等4.画函数图象一般是：①应先确定自变量的取值范围.要使代数式有意义，并使代数式所表示的实际问题有意义，还要注意是否连续，是否有界.②一般用描点法，但对一次函数(二元一次方程)的图象，因它是直线(包括射线、线段)，所以可采用两点法.线段一定要画出端点(包括临界点).③对含有绝对值符号(或其他特殊符号)的解析式，应按定义对自变量分区讨论，写成几个解析式.二、例题例1.右图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，试决定a,b,c及b2－4ac的符号.解： 抛物线开口向下，∴a<0. 对称轴在原点右边，∴x=－>0且a<0,∴b>0. 抛物线与纵轴的交点在正半轴上，∴截距c>0. 抛物线与横轴有两个交点，∴b2－4ac>0.例2.已知：抛物线f：y=－(x－2)2+5.试写出把f向左平行移动2个单位后，所得的曲线f1的方程；以及f关于x轴对称的曲线f2的方程.画出f1和f2的略图，并求：（1）x的值什么范围，曲线f1和f2都是下降的；（2）x的值在什么范围，曲线f1和f2围成一个封闭图形；（3）求在f1和f2围成封闭图形上，平行于y轴的线段的长度的最大值.P(x,y)loxy（1980年福建省中招试题）解：f1：y=－x2+5(由顶点横坐标变化确定的)，f2：y=(x－2)2－5(由开口方向相反确定的).（1）当x≥0时，f1下降，当x≤2时，f2下降，∴当0≤x≤2时，曲线f1和f2都是下降的.（2）求两曲线的交点横坐标，即解方程组x2－2x－3=0.∴x=－1；或x=3.∴当－1≤x≤3时，曲线f1和f2围成一个封闭图形.(3)封闭图形上，平行于y轴的线段的长度，就是对应于同一个横坐标，两曲线上的点的纵坐标的差.在区间–1≤x≤3内，设f1上的点P1(x,y1),f2上的点P2(x,y2)，求y1－y2的最大值，可用配方法：y1－y2＝(－x2+5)－[(x－2)2－5]＝－2x2+4x+6＝－2(x－1)2+8. －2<0，∴y1－y2有最大值.当x=1时，y1－y2的值最大是8.即线段长度的最大值是8.例3.画函数y=的图象.解：自变量x的取值范围是全体实数，下面分区讨论：当x<－1时，y=－(x+1)－(x－2)=－2x+1；当－1≤x<2时，y=x+1－(x－2)=3；当x≥2时，y=x+1+x－2=2x－1.即y==x…－2－123…y=－2x+1(x<－1)…53y=3(－1≤x<2)33y=2x－1(x≥2)35…∴画函数y=的图象如下图：例4.画方程[x]2+[y]2=1的图象，[m]表示不超过m的最大整数.(1985年徐州市初中数学竞赛题).解： [x]2≥0，且[y]2=1－[x]2≥0，∴[x]2≤1.∴0≤[x]2≤1. [m]表示不超过m的最大整数，∴当[x]2=0[x]=00≤x≤1.当[x]2=1[x]=自变量x的取值范围是：－1≤x<2.如图阴影部分的四个正方形，就是所求方程的图象.只包括各正方形左、下边界，不包括各正方形右、上边界.例5.直线y=x+m与双曲线y=在第一象限相交点A，SRt△AOB=3.①求m的值；②设直线与x轴交于点C，求点C的坐标；③求S△ABC.解：①设A坐标为(x,x+m). S△AOB=OB×BA.x－1≤x<00≤x<11≤x<2[x]－101[x]2101[y]2=1－[x]2010[y]0－11...
