第二章平面解析几何2.1坐标法课后篇巩固提升基础达标练1.数轴上的三点M,N,P的坐标分别为3,-1,-5,则⃗MP+⃗PN等于()A.-4B.4C.12D.-12解析⃗MP+⃗PN=⃗MN=-1-3=-4.答案A2.数轴上点P(x),A(-8),B(-4),若|PA|=2|PB|,则x等于()A.0B.-163C.163D.0或-163解析因为|PA|=2|PB|,所以|x+8|=2|x+4|,解得x=0或-163.答案D3.P(1,-2)关于A(-1,1)的对称点P'的坐标为()A.(3,4)B.(-3,4)C.(3,-4)D.(-3,-4)解析设P'点坐标为(x,y),因为A为PP'的中点,所以{1+x2=-1,-2+y2=1,解得{x=-3,y=4,故P'的坐标为(-3,4).答案B4.已知平行四边形的三个顶点坐标为(3,-2),(5,2),(-1,4),则第四个顶点不是()A.(9,-4)B.(1,8)C.(-3,0)D.(1,-3)解析设第四个顶点的坐标为(x,y),然后分情况讨论.(1)若点(3,-2),(5,2)为平行四边形的对顶点,则有3+52=-1+x2,-2+22=4+y2,解得x=9,y=-4,即(9,-4);(2)若(5,2),(-1,4)为对顶点,同理可求第四个顶点为(1,8);(3)若(3,-2),(-1,4)为对顶点,同理可求第四个顶点为(-3,0).故选D.答案D5.在数轴上有点A(1),若点A负向移动3个单位长度到达点B,则⃗AB=.向量⃗AB与以B为起点,终点坐标为的向量是相等向量.解析由于A(1)负向移动3个单位长度到达B点,所以B点坐标为-2,则向量⃗AB的坐标为-3,若以B为起点的向量为-3,则终点坐标应为-5.答案-3-56.已知▱ABCD的三个顶点A(0,0),B(x1,y1),D(x2,y2),则顶点C的坐标为.解析由于▱ABCD的各顶点的顺序已经确定,因此点C的坐标是唯一确定的.根据平行四边形的性质——对角线互相平分,再根据中点坐标公式,即可求出点C的坐标.设顶点C的坐标为(m,n),AC与BD的交点为O,则O为AC和BD的中点,根据题意得点O的坐标为(x2+x12,y2+y12),又因为点O为AC的中点,所以m+02=x2+x12,n+02=y2+y12,解得m=x2+x1,n=y2+y1,所以点C的坐标为(x1+x2,y1+y2).答案(x1+x2,y1+y2)7.已知四边形ABCD的顶点A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0),E,F分别为边AB,BC的中点,求CE,DE,AF,DF的长度.解设线段AB的中点为E(x,y),则x=-4+22=-1,y=3+52=4,则|CE|=√(-1-6)2+(4-3)2=5√2,|DE|=√[-1-(-3)]2+(4-0)2=2√5.即CE,DE的长度分别为5√2,2√5.设线段BC的中点为F(m,n),则m=2+62=4,n=5+32=4,则|AF|=√[4-(-4)]2+(4-3)2=√65,|DF|=√[4-(-3)]2+(4-0)2=√65,即AF,DF的长度都为√65.8.如图所示,△ABD和△BCE是在直线AC同一侧的两个等边三角形,求证:|AE|=|CD|.证明以B为原点,以直线AC为x轴建立如图所示的平面直角坐标系,设△ABD和△BCE的边长分别为a,c,则有A(-a,0),C(c,0),D(-a2,√32a),E(c2,√32c).于是|AE|=√(c2+a)2+(√32c-0)2=√c24+ac+a2+34c2=√a2+ac+c2,|CD|=√(c+a2)2+(0-√32a)2=√c2+ac+a24+34a2=√a2+ac+c2,所以|AE|=|CD|.能力提升练1.当数轴上的三个点A,B,O互不重合时,它们的位置关系共有六种情况,其中使⃗AB=⃗OB−⃗OA和|⃗AB|=|⃗OB|-|⃗OA|同时成立的情况有()A.1种B.2种C.3种D.4种解析⃗AB=⃗OB−⃗OA恒成立,而要使|⃗AB|=|⃗OB|-|⃗OA|成立,则点A应在点O和点B中间,共有2种可能.答案B2.某县位于山区,居民的居住区域大致呈如图所示的五边形,近似由一个正方形和两个等腰直角三角形组成,若AB=60km,AE=CD=30km,为了解决当地人民看电视难的问题,准备建一个电视转播台,理想方案是转播台距五边形各顶点距离的平方和最小,图中P1,P2,P3,P4是AC的五等分点,则转播台应建在()A.P1处B.P2处C.P3处D.P4处解析以A为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则P4(6,6),P3(12,12),P2(18,18),P1(24,24).设转播台的坐标为P(x,y),则|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2+|PE|2=x2+y2+(x-60)2+y2+(x-30)2+(y-30)2+(x-30)2+(y-60)2+x2+(y-30)2=5x2-(120+120)x+5y2-(120+120)y+2×602+4×302,故当x=24,且y=24时,|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2+|PE|2最小,故P应在P1处.答案A3.使得|x-3|+|x+1|≥a恒成立的a的取值范围为.解析设函数y=|x-3|+|x+1|,因为函数y=|x-3|+|x+1|的最小值为4,即y≥4,所以使|x-3|+|x+1|≥a恒成立a的取值范围为(-∞,4].答案(-∞,4]4.已知x,y∈(0,1),则√x2+y2+√x2+(y-1)2+√(x-1)2+y2+√(x-1)2+(y-1)2的最小值是.解析 x,y∈(0,1),∴√x2+y2+√x2+(y-1)2+√(x-1)2+y2+√(x-1)2+(y-1)2表示以(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)为顶点的正方形内部的动点(x,y)...
