【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学第1章直线、多边形、圆1.2.1圆周角定理学业分层测评北师大版选修4-1(建议用时：45分钟)学业达标]一、选择题1.如图1214，在⊙O中，∠BOC＝50°，则∠A的大小为()图1214A.25°B.50°C.75°D.100°【解析】由圆周角定理得∠A＝∠BOC＝25°.【答案】A2.如图1215，△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于D，∠A＝50°，则∠OCD的度数是()图1215A.40°B.25°C.50°D.60°【解析】连接OB.因为∠A＝50°，所以弦BC所对的圆心角∠BOC＝100°，∠COD＝∠BOC＝50°，∠OCD＝90°－∠COD＝40°.【答案】A3.Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝2，则此三角形外接圆半径为()A.B.2C.2D.4【解析】由推论2知AB为Rt△ABC的外接圆的直径，又AB＝＝4，故外接圆半径r＝AB＝2.【答案】B4.如图1216，已知AB是半圆O的直径，弦AD，BC相交于P，若CD＝3，AB＝4，则tan∠BPD等于()图1216A.B.1C.D.【解析】连接BD，则∠BDP＝90°.∵△CPD∽△APB，∴＝＝.在Rt△BPD中，cos∠BPD＝＝，∴tan∠BPD＝.【答案】D5.如图1217所示，圆O上一点C在直线AB上的射影为D，CD＝4，BD＝8，则圆O的半径等于()图1217A.6B.8C.4D.5【解析】∵AB为直径，∴∠ACB＝90°.又∵CD⊥AB，∴由射影定理可知，CD2＝AD·BD.∴42＝8AD，∴AD＝2.∴AB＝BD＋AD＝8＋2＝10.∴圆O的半径为5.【答案】D二、填空题6.如图1218所示，AB是⊙O的直径，D是\s\up10(︵)的中点，∠ABD＝20°，则∠BCE＝________(答案用数值表示).【导学号：96990017】图1218【解析】连接AD，DE，∵∠ABD＝20°，∴∠AED＝20°，又D是\s\up10(︵)的中点，∴∠DAC＝∠DEA＝20°.又∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，2∴∠DCA＝70°，∴∠BCE＝70°.【答案】70°7.如图1219，AB为⊙O的直径，弦AC，BD交于点P，若AB＝3，CD＝1，则sin∠APD＝__________.图1219【解析】由于AB为⊙O的直径，则∠ADP＝90°，所以△APD是直角三角形.则sin∠APD＝，cos∠APD＝，由题意知，∠DCP＝∠ABP，∠CDP＝BAP，所以△PCD∽△PBA.所以＝，又AB＝3，CD＝1，则＝.∴cos∠APD＝.又∵sin2∠APD＋cos2∠APD＝1，∴sin∠APD＝.【答案】8.如图1220所示，在⊙O中，已知∠ACB＝∠CDB＝60°，AC＝3，则△ABC的周长是__________.图1220【解析】由圆周角定理，得∠A＝∠D＝∠ACB＝60°.∴AB＝BC.∴△ABC为等边三角形.∴周长等于9.【答案】9三、解答题9.如图1221，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，以AC为直径的圆与斜边交于点P，求BP长.图1221【解】连接CP，∵AC为圆的直径，∴∠CPA＝90°，即CP⊥AB.3又∵∠ACB＝90°，∴由射影定理可知AC2＝AP·AB.∴AP＝＝＝3.6.∴BP＝AB－AP＝10－3.6＝6.4.10.如图1222，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E.图1222(1)证明：△ABE∽△ADC；(2)若△ABC的面积S＝AD·AE，求∠BAC的大小.【解】(1)证明：由已知条件可得∠BAE＝∠CAD.因为∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角，所以∠AEB＝∠ACD.故△ABE∽△ADC.(2)因为△ABE∽△ADC，所以＝，即AB·AC＝AD·AE.又S△ABC＝AB·AC·sin∠BAC，且S△ABC＝AD·AE，所以AB·AC·sin∠BAC＝AD·AE.则sin∠BAC＝1.又∠BAC为三角形内角，所以∠BAC＝90°.能力提升]1.在⊙O中，∠AOB＝84°，则弦AB所对的圆周角是()A.42°B.138°C.84°D.42°或138°【解析】借助圆形和圆周角定理可知，弦AB所对的圆周角有两种情况，即为42°或138°.【答案】D2.如图1223，AC是⊙O的直径，AB、CD是⊙O的两条弦，且AB∥CD，如果∠BAC＝32°，那么∠AOD＝()图1223A.16°B.32°4C.48°D.64°【解析】∵AB∥CD，∴\s\up10(︵)＝\s\up10(︵).又∵∠BAC＝32°，∴\s\up10(︵)的度数为64°.∴∠AOD＝64°.【答案】D3.如图1224，在等腰三角形ABC中，以腰AC为直径作半圆交AB于点E，交BC于点F，若∠BAC＝50°，则\s\up10(︵)的度数为__________.【导学号：96990018】图1224【解析】连接AF.∵AC为⊙O的直径，∴∠AFC＝90°，∴AF⊥BC，∵AB＝AC，∴∠BAF＝∠BAC＝25°.∴\s\up10(︵)的度数为50°.【答案】50°4.如图1225所示，已知△ABC内接于圆，D为\s\up10(︵)中点，连接AD交BC于E.图1225求证：(1)＝；(2)AB·AC＝AE2＋EB·EC.【证明】(1)连接CD.∵∠1＝∠3，∠4＝∠5，∴△ABE∽△CDE，∴＝.(2)连接BD.∵＝，∴AE·ED＝BE·EC，∴AE2＋BE·EC＝AE2＋AE·DE＝AE(AE＋DE)＝AE·AD①在△ABD与△AEC中，5∵D为\s\up10(︵)的中点，∴∠1＝∠2，又∵∠ACE＝∠ACB＝∠ADB，∴△ABD∽△AEC，∴＝，即AB·AC＝AD·AE②由①②知：AB·AC＝AE2＋EB·EC.6
