【三维设计】高中数学第四章§11.1导数与函数的单调性应用创新演练北师大版选修1-11．函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋1的单调递增区间是()A．(1,2)B．(2，＋∞)C．(－∞，1)∪(2，＋∞)D．(－∞，1)，(2，＋∞)解析：f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x2－3x＋2)，令f′(x)>0，则x>2或x<1，故函数f(x)的增区间为(－∞，1)，(2，＋∞)．答案：D2．y＝8x2－lnx在和上分别是()A．增加的，增加的B．增加的，减少的C．减少的，增加的D．减少的，减少的解析：y′＝16x－＝，当x∈时，y′<0，函数在上是减少的，当x∈时，y′>0，函数在上是增加的．答案：C3．函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)在(－∞，＋∞)上是减少的，则下列各式中成立的是()A．a>0，b2＋3ac≥0B．a>0，b2－3ac≤0C．a<0，b2＋3ac≥0D．a<0，b2－3ac≤0解析：f′(x)＝3ax2＋2bx＋c(a≠0)．∵函数为减少的，则f′(x)≤0恒成立．∴a<0且Δ＝4b2－12ac≤0，即b2－3ac≤0.答案：D4.设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图像如右图所示，则y＝f(x)的图像最有可能是()解析：由y＝f′(x)的图像可知，当x<0或x>2时，f′(x)>0；当00，即ex(2x＋x2)>0，∴x>0或x<－2.故函数的增区间为(－∞，－2)，(0，＋∞)．答案：(－∞，－2)，(0，＋∞)6．若函数f(x)＝x3＋ax＋8的单调减区间为(－5,5)，则a的值为________．1解析：f′(x)＝3x2＋a，∵f′(x)<0的解为－50，即函数在区间(0,2)上是增加的．8．已知向量a＝(x2，x＋1)，b＝(1－x，t)，若函数f(x)＝a·b在区间(－1,1)上是增加的，求t的取值范围．解：由题意f(x)＝x2(1－x)＋t(x＋1)＝－x3＋x2＋tx＋t，∴f′(x)＝－3x2＋2x＋t.若f(x)在(－1,1)上是增加的，[则在(－1,1)上f′(x)≥0恒成立．即t≥3x2－2x在区间(－1,1)上恒成立．考虑函数g(x)＝3x2－2x＝3(x－)2－.x∈(－1,1)显然g(x)0，即f(x)在(－1,1)上是增加的．故t的取值范围是[5，＋∞)．2
