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高中数学 第二章 几个重要的不等式 2.3.1 数学归纳法 2.3.2 数学归纳法的应用课后练习 北师大版选修4-5-北师大版高二选修4-5数学试题VIP免费

高中数学 第二章 几个重要的不等式 2.3.1 数学归纳法 2.3.2 数学归纳法的应用课后练习 北师大版选修4-5-北师大版高二选修4-5数学试题_第1页
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2016-2017学年高中数学第二章几个重要的不等式2.3.1数学归纳法2.3.2数学归纳法的应用课后练习北师大版选修4-5一、选择题1.用数学归纳法证明“2n>n2+1对于n>n0的正整数n都成立”时,第一步证明中的起始值n0应取()A.2B.3C.5D.6解析:使2n>n2+1,经过计算知应选C.答案:C2.用数学归纳法证明“当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除”的第二步是()A.假使n=2k+1时正确,再推n=2k+3正确B.假使n=2k-1时正确,再推n=2k+1正确C.假使n=k时正确,再推n=k+1正确D.假使n≤k(k≥1)时正确,再推n=k+2时正确(以上k∈N+)解析:因为是奇数,所以排除C、D,又当k∈N*时,A中2k+1取不到1,所以选B.答案:B3.在数列{an}中,a1=,且Sn=n(2n-1)an,通过求a2,a3,a4,猜想an的表达式为()A.B.C.D.解析:经过a1=可算出a2=,a3=,所以选C.答案:C4.用数学归纳法证明“1+++…+1)”时,由n=k(k>1)时不等式成立,推证n=k+1时,左边应增加的项数是()A.2k-1B.2k-1C.2kD.2k+1解析:由k到k+1,则左边增加了++…+,共2k项.答案:C二、填空题5.用数学归纳法证明“对于足够大的正整数n,总有2n>n3”时,验证第一步不等式成立所取的第一个最小值n0应当是__________________.解析:经过计算知n0最小应为10.答案:106.用数学归纳法证明不等式++…+>的过程,由n=k推导n=k+1时,不等式的左边增加的式子是________________.解析:应该比原来增加了.答案:三、解答题7.求证:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n·1·3·5·…·(2n-1)(n∈N+).证明:(1)当n=1时,等式左边=2,等式右边=2×1=2,∴等式成立.(2)假设n=k(k∈N+)时等式成立,即(k+1)(k+2)…(k+k)=2k×1×3×5×…×(2k-1)成立.1那么n=k+1时,(k+2)(k+3)…(k+k)(2k+1)(2k+2)=2(k+1)(k+2)(k+3)…(k+k)(2k+1)=2k+1×1×3×5×…×(2k-1)[2(k+1)-1].即n=k+1时等式成立.由(1)(2)可知,对任何n∈N+等式均成立.8.用数学归纳法证明:对一切大于1的自然数n,不等式…>成立.证明:(1)当n=2时,左边=1+=,右边=,左边>右边,∴不等式成立.(2)假设当n=k(k≥2)时,不等式成立,即…>.那么当n=k+1时,…>·==>==∴当n=k+1时,不等式也成立.由(1)(2)知,对一切大于1的自然数n,不等式都成立.9.是否存在常数a,b,c使得1·22+2·32+3·42+…+n(n+1)2=(an2+bn+c)对一切n∈N+都成立?证明你的结论.解析:此题可用归纳猜想证明来思考.假设存在a,b,c使题设的等式成立.令n=1,得4=(a+b+c);当n=2时,22=(4a+2b+c);当n=3时,70=9a+3b+c,联立得a=3,b=11,c=10.∴当n=1,2,3时,等式1·22+2·32+3·42+…+n(n+1)2=成立.猜想等式对n∈N+都成立,下面用数学归纳法来证明.记Sn=1·22+2·32+…+n(n+1)2,设当n=k时,上面等式成立,即有Sk=.则当n=k+1时,Sk+1=Sk+(k+1)(k+2)2=·(3k2+11k+10)+(k+1)(k+2)2=·(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2=·(3k2+5k+12k+24)=·[3(k+1)2+11(k+1)+10].∴当n=k+1时,等式成立.综上所述,当a=3,b=11,c=10时,题设的等式对n∈N+均成2

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