2016-2017学年高中数学第二章几个重要的不等式2.3.1数学归纳法2.3.2数学归纳法的应用课后练习北师大版选修4-5一、选择题1．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n>n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取()A．2B．3C．5D．6解析：使2n>n2＋1，经过计算知应选C．答案：C2．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步是()A．假使n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3正确B．假使n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1正确C．假使n＝k时正确，再推n＝k＋1正确D．假使n≤k(k≥1)时正确，再推n＝k＋2时正确(以上k∈N＋)解析：因为是奇数，所以排除C、D，又当k∈N*时，A中2k＋1取不到1，所以选B．答案：B3．在数列{an}中，a1＝，且Sn＝n(2n－1)an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式为()A．B．C．D．解析：经过a1＝可算出a2＝，a3＝，所以选C．答案：C4．用数学归纳法证明“1＋＋＋…＋1)”时，由n＝k(k>1)时不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是()A．2k－1B．2k－1C．2kD．2k＋1解析：由k到k＋1，则左边增加了＋＋…＋，共2k项．答案：C二、填空题5．用数学归纳法证明“对于足够大的正整数n，总有2n>n3”时，验证第一步不等式成立所取的第一个最小值n0应当是__________________.解析：经过计算知n0最小应为10.答案：106．用数学归纳法证明不等式＋＋…＋>的过程，由n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是________________.解析：应该比原来增加了.答案：三、解答题7．求证：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)(n∈N＋)．证明：(1)当n＝1时，等式左边＝2，等式右边＝2×1＝2，∴等式成立．(2)假设n＝k(k∈N＋)时等式成立，即(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k×1×3×5×…×(2k－1)成立．1那么n＝k＋1时，(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)＝2(k＋1)(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)＝2k＋1×1×3×5×…×(2k－1)[2(k＋1)－1]．即n＝k＋1时等式成立．由(1)(2)可知，对任何n∈N＋等式均成立．8．用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n，不等式…>成立．证明：(1)当n＝2时，左边＝1＋＝，右边＝，左边>右边，∴不等式成立．(2)假设当n＝k(k≥2)时，不等式成立，即…>.那么当n＝k＋1时，…>·＝＝>＝＝∴当n＝k＋1时，不等式也成立．由(1)(2)知，对一切大于1的自然数n，不等式都成立．9．是否存在常数a，b，c使得1·22＋2·32＋3·42＋…＋n(n＋1)2＝(an2＋bn＋c)对一切n∈N＋都成立？证明你的结论．解析：此题可用归纳猜想证明来思考．假设存在a，b，c使题设的等式成立．令n＝1，得4＝(a＋b＋c)；当n＝2时，22＝(4a＋2b＋c)；当n＝3时，70＝9a＋3b＋c，联立得a＝3，b＝11，c＝10.∴当n＝1,2,3时，等式1·22＋2·32＋3·42＋…＋n(n＋1)2＝成立．猜想等式对n∈N＋都成立，下面用数学归纳法来证明．记Sn＝1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2，设当n＝k时，上面等式成立，即有Sk＝.则当n＝k＋1时，Sk＋1＝Sk＋(k＋1)(k＋2)2＝·(3k2＋11k＋10)＋(k＋1)(k＋2)2＝·(k＋2)(3k＋5)＋(k＋1)(k＋2)2＝·(3k2＋5k＋12k＋24)＝·[3(k＋1)2＋11(k＋1)＋10]．∴当n＝k＋1时，等式成立．综上所述，当a＝3，b＝11，c＝10时，题设的等式对n∈N＋均成2
