高中数学 第1章 4数学归纳法课时作业 北师大版选修2-2-北师大版高二选修2-2数学试题VIP免费

【成才之路】2015-2016学年高中数学第1章4数学归纳法课时作业北师大版选修2-2一、选择题1．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N＋)时，验证n＝1时，左边应取的项是()A．1B．1＋2C．1＋2＋3D．1＋2＋3＋4[答案]D2．如果1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋…＋n(n＋1)·(n＋2)＝n(n＋1)(n＋a)(n＋b)对一切正整数n都成立，则a，b的值应该等于()A．a＝1，b＝3B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝2D．a＝2，b＝3[答案]D[解析]当n＝1时，上式可化为ab＋a＋b＝11；①当n＝2时，上式可化为ab＋2(a＋b)＝16.②由①②可得a＋b＝5，ab＝6，验证可知只有选项D适合．3．(2014·揭阳一中高二期中)用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开()A．(k＋3)3B．(k＋2)3C．(k＋1)3D．(k＋1)3＋(k＋2)3[答案]A[解析]因为从n＝k到n＝k＋1的过渡，增加了(k＋3)3，减少了k3，故利用归纳假设，只需将(k＋3)3展开，证明余下的项9k2＋27k＋27能被9整除．4．某个命题与正整数n有关，若n＝k(k∈N*)时该命题成立，那么可推知n＝k＋1时该命题也成立，现已知当n＝5时该命题不成立，那么可推得()A．当n＝6时该命题不成立B．当n＝6时该命题成立C．当n＝4时该命题不成立D．当n＝4时该命题成立[答案]C[解析]若原命题正确，则其逆否命题正确，所以若n＝k(k∈N*)时该命题成立，那么可推得n＝k＋1时该命题也成立，可推得若n＝k＋1时命题不成立可推得n＝k(k∈N*)时命题不成立，所以答案为C．5．(2014·合肥一六八中高二期中)观察下列各式：已知a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则归纳猜测a7＋b7＝()A．26B．27C．28D．29[答案]D[解析]观察发现，1＋3＝4,3＋4＝7,4＋7＝11,7＋11＝18,11＋18＝29，∴a7＋b7＝29.二、填空题6．(2014·吉林长春一模，13)用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)1(2n＋1)时，当n＝1时左边表达式是________；从k→k＋1需增添的项是________．[答案]1＋2＋3；4k＋5(或(2k＋2)＋(2k＋3))[解析]因为用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，当n＝1时，2n＋1＝3，所以左边表达式是1＋2＋3；从k→k＋1需增添的项的是4k＋5或(2k＋2)＋(2k＋3)．7．使|n2－5n＋5|＝1不成立的最小的正整数是________．[答案]5[解析]从n＝1,2,3,4,5，…，取值逐个验证即可．8．凸k边形有f(k)条对角线，则凸k＋1边形的对角线条数f(k＋1)＝f(k)＋____________.[答案]k－1[解析]设原凸k边形的顶点为A1，A2，…，Ak，增加一个顶点Ak＋1，增加Ak＋1与A2、A3，…，Ak－1共k－2条再加上A1与Ak的一条连线共k－1条．三、解答题9．数列{an}满足Sn＝2n－an(n∈N*)．(1)计算a1，a2，a3，并猜想an的通项公式；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．[解析](1)当n＝1时，a1＝S1＝2－a1，∴a1＝1；当n＝2时，a1＋a2＝S2＝2×2－a2，∴a2＝；当n＝3时，a1＋a2＋a3＝S3＝2×3－a3，∴a3＝.由此猜想an＝(n∈N*)(2)证明：①当n＝1时，a1＝1结论成立，②假设n＝k(k≥1，且k∈N*)时结论成立，即ak＝，当n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak＝2＋ak－ak＋1，∴2ak＋1＝2＋ak∴ak＋1＝＝，∴当n＝k＋1时结论成立，于是对于一切的自然数n∈N*，an＝成立．10．求证：＋＋…＋>(n≥2，n∈N＋)．[证明](1)当n＝2时，左边＝＋＋＋＝>，不等式成立．(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时不等式成立，即＋＋…＋>，则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＋＋＝＋>＋>＋＝.所以当n＝k＋1时不等式也成立．由(1)(2)可知原不等式对一切n(n≥2，n∈N＋)都成立.一、选择题21．(2014·秦安县西川中学高二期中)用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(n∈N*，a≠1)，在验证n＝1时，左边所得的项为()A．1B．1＋a＋a2C．1＋aD．1＋a＋a2＋a3[答案]B[解析]因为当n＝1时，an＋1＝a2，所以此时式子左边＝1＋a＋a2.故应选B.2．(2014·衡水一模，6)利用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋