课时跟踪训练(二十一)圆锥曲线的共同特征直线与圆锥曲线的交点1．过点(2,4)作直线与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线有()A．1条B．2条C．3条D．4条2．若直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是()A．(－∞，0)∪(1，＋∞)B．(1,3)∪(3，＋∞)C．(－∞，－3)∪(－3,0)D．(1,3)3．已知双曲线方程为x2－＝1，过P(1,0)的直线L与双曲线只有一个公共点，则共有L()A．4条B．3条C．2条D．1条4．已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()A．x＝1B．x＝－1C．x＝2D．x＝－25．已知双曲线x2－＝1，过P(2,1)点作一直线交双曲线于A，B两点，并使P为AB的中点，则直线AB的斜率为________．6．已知点M到定点F(1,0)的距离与M到定直线l：x＝3的距离的比为，则动点M的轨迹方程为________．7．已知直线l与抛物线y2＝8x交于A，B两点，且l经过抛物线的焦点F，点A(8,8)，求线段AB的中点到准线的距离．8．已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且倾斜角为45°的直线l与椭圆相交于A，B两点．(1)求AB的中点坐标；(2)求△ABF2的周长与面积．1答案1．选B点(2,4)位于抛物线y2＝8x上，故过(2,4)且与抛物线只有一个交点的直线有两条，一条平行于对称轴，另一条与抛物线相切．2．选B由消去y，整理得(3＋m)x2＋4mx＋m＝0.若直线与椭圆有两个公共点，则解得由＋＝1表示椭圆知，m＞0且m≠3.综上可知，m的取值范围是m＞1且m≠3.3．选B因为双曲线方程为x2－＝1，所以P(1,0)是双曲线的右顶点，所以过P(1,0)并且和x轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外还有两条就是过P(1,0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的共有3条．4．选B抛物线的焦点F，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－，即x＝y＋，将其代入y2＝2px＝2p＝2py＋p2，所以y2－2py－p2＝0，所以＝p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1.5．解析：法一：显然直线AB存在斜率，设AB斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB方程为y－1＝k(x－2)，由得(3－k2)x2＋(4k2－2k)x－4k2＋4k－4＝0，∴x1＋x2＝＝4，∴k＝6.法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，且x－＝1，x－＝1.两式相减得(x1－x2)(x1＋x2)＝.显然x1－x2≠0，∴＝＝6，即kAB＝6.答案：66．解析：设M(x，y)，则＝，∴3(x－1)2＋3y2＝(x－3)2.∴2x2＋3y2＝6.∴所求方程为＋＝1.答案：＋＝17．解：设AB的中点是P，到准线的距离是|PQ|，2由题意知点F(2,0)，直线AB的方程是：y＝(x－2)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去x得y2＝8⇒y2－6y－16＝0⇒y1＝8，y2＝－2.∴|AB|＝|y1－y2|＝，由抛物线的定义知：|PQ|＝|AB|＝.8．解：(1)由＋＝1，知a＝，b＝，c＝1.∴F1(－1,0)，F2(1,0)，∴l的方程为y＝x＋1，联立消去y得5x2＋6x－3＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点M(x0，y0)，则x1＋x2＝－，x1x2＝－，x0＝＝－，y0＝＝＝＋1＝，∴中点坐标为M.(2)由题意知，F2到直线AB的距离d＝＝＝，|AB|＝·＝，∴S△ABF2＝|AB|d＝××＝，△ABF2的周长＝4a＝4.3
