课时跟踪训练(十一)函数的极值1．函数y＝2x3－3x2的极值情况为()A．在x＝0处取得极大值0，但无极小值B．在x＝1处取得极小值－1，但无极大值C．在x＝0处取得极大值0，在x＝1处取得极小值－1D．以上都不对2．函数y＝ax＋ln(1－x)在x＝0时取极值，则a的值为()A．0B．1C．－1D．不存在3．函数f(x)＝x3－3bx＋3b在(0,1)内有极值，则()A．00D．b<4．设三次函数f(x)的导函数为f′(x)，函数y＝xf′(x)的图像的一部分如图所示，则正确的是()A．f(x)的极大值为f()，极小值为f(－)B．f(x)的极大值为f(－)，极小值为f()C．f(x)的极大值为f(－3)，极小值为f(3)D．f(x)的极大值为f(3)，极小值为f(－3)5．若函数f(x)＝在x＝1处取得极值，则a＝________.6．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，其导函数y＝f′(x)的图像经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，则下列说法中正确的是________．①当x＝时函数取得极小值；②f(x)有两个极值点；③当x＝2时函数取得极小值；④当x＝1时函数取得极大值．7．求下列函数的极值．(1)f(x)＝x3－x2－3x＋4；(2)f(x)＝x3ex.18．已知函数f(x)＝16x3－20ax2＋8a2x－a3，其中a≠0，求f(x)的极值．答案1．选C因为y＝2x3－3x2，所以y′＝6x2－6x＝6x(x－1)．令y′＝0，解得x＝0或x＝1.令y＝f(x)，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，0)0(0,1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值所以，当x＝0时，函数y＝2x3－3x2取得极大值0；当x＝1时，函数y＝2x3－3x2取得极小值－1.2．选By′＝a＋＝(x<1)，由题意得x＝0时y′＝0，即a＝1.检验：当a＝1时y′＝，当x<0时y′>0，当00，即f′(x)<0；当x∈(－3,0)时，xf′(x)<0，即f′(x)>0；当x∈(0,3)时，xf′(x)>0，即f′(x)>0；当x∈(3，＋∞)时，xf′(x)<0，即f′(x)<0.故函数f(x)在x＝－3处取得极小值，在x＝3处取得极大值．5．解析：f′(x)＝＝，由题意得f′(1)＝＝0，解得a＝3.经检验，a＝3符合题意．答案：36．解析：由图像可知，当x∈(－∞，1)时，f′(x)>0；当x∈(1,2)时，f′(x)<0；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0.∴f(x)有两个极值点1和2，且当x＝2时函数取得极小值，当x＝1时，函数取得极大值，故只有①不正确．答案：②③④7．解：(1)∵f(x)＝x3－x2－3x＋4，∴f′(x)＝x2－2x－3.2令f′(x)＝0，得x1＝3，x2＝－1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化，如表所示：x(－∞，－1)－1(－1,3)3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值∴x＝－1是f(x)的极大值点，x＝3是f(x)的极小值点．∴f(x)极大值＝f(－1)＝，f(x)极小值＝f(3)＝－5.(2)f′(x)＝3x2·ex＋x3·ex＝ex·x2(x＋3)，由f′(x)＝0得x＝0或x＝－3.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化如表所示：x(－∞，－3)－3(－3,0)0(0，＋∞)f′(x)－0＋0＋f(x)极小值无极值由表可知x＝－3是f(x)的极小值点．f(x)极小值＝f(－3)＝－27e－3，函数无极大值．8．解：∵f(x)＝16x3－20ax2＋8a2x－a3，其中a≠0，∴f′(x)＝48x2－40ax＋8a2＝8(6x2－5ax＋a2)＝8(2x－a)(3x－a)，令f′(x)＝0，得x＝或x＝.(1)当a>0时，<，则随着x的变化，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：xf′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值∴当x＝时，函数取得极大值f＝；当x＝时，函数取得极小值f＝0.(2)当a<0时，<，则随着x的变化，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：xf′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值∴当x＝时，函数取得极大值f＝0；当x＝时，函数取得极小值f()＝.综上所述，当a>0时，函数f(x)在x＝处取得极大值f＝，在x＝处取得极小值f＝0；当a<0时，函数f(x)在x＝处取得极大值f＝0，在x＝处取得极小值f＝.3
