第三章测评(时间:120分钟满分:150分)一、单选题(共8小题,每小题5分,共40分)1.抛物线y=4x2的焦点坐标是()A.(0,1)B.(1,0)C.(0,116)D.(116,0)解析抛物线y=4x2的标准方程为x2=14y,即p=18,开口向上,焦点在y轴的正半轴上,故焦点坐标为(0,116).答案C2.若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为18,焦距为6,则椭圆的方程为()A.x29+y216=1B.x225+y216=1C.x225+y216=1或x216+y225=1D.x216+y225=1解析由题意,得{2c=6,2a+2b=18,a2=b2+c2,解得{a=5,b=4,c=3.∴椭圆的方程为x225+y216=1或x216+y225=1.答案C3.已知0<θ<π4,则双曲线C1:x2sin2θ−y2cos2θ=1与C2:y2cos2θ−x2sin2θ=1的()A.实轴长相等B.虚轴长相等C.离心率相等D.焦距相等解析双曲线C1和C2的实半轴长分别是sinθ和cosθ,虚半轴长分别是cosθ和sinθ,半焦距都等于1,故选D.答案D4.过点M(1,1)作斜率为-12的直线与椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率等于()A.√24B.√22C.14D.12解析设A(x1,y1),B(x2,y2),分别代入椭圆方程相减得(x1-x2)(x1+x2)a2+(y1-y2)(y1+y2)b2=0.根据题意有x1+x2=2×1=2,y1+y2=2×1=2,且y1-y2x1-x2=-12,所以2a2+2b2×(-12)=0,所以a2=2b2,所以a2=2(a2-c2),整理得a2=2c2,所以ca=√22,所以e=√22.答案B5.已知双曲线x2-y23=1的左顶点为A1,右焦点为F2,P为双曲线右支上一点,则⃗PA1·⃗PF2的最小值为()A.1B.0C.-2D.-8116解析设P(x0,y0),则x02−y023=1,由题意得A1(-1,0),F2(2,0),则⃗PA1·⃗PF2=(-1-x0,-y0)·(2-x0,-y0)=x02-x0-2+y02,由双曲线方程得y02=3(x02-1),故⃗PA1·⃗PF2=4x02-x0-5(x0≥1),可得当x0=1时,⃗PA1·⃗PF2有最小值-2,故选C.答案C6.已知a>b>0,椭圆C1的方程为x2a2+y2b2=1,双曲线C2的方程为x2a2−y2b2=1,C1与C2的离心率之积为√32,则C2的渐近线方程为()A.x±√2y=0B.√2x±y=0C.x±2y=0D.2x±y=0解析设椭圆和双曲线的半焦距为c1,c2,则e1·e2=c1a·c2a=√a2-b2a·√a2+b2a=√a4-b4a2=√32,所以ba=√22,所以双曲线C2的渐近线方程为y=±bax=±√22x,即x±√2y=0.答案A7.设圆(x+1)2+y2=25的圆心为C,A(1,0)是圆内一定点,Q为圆周上任一点.线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M,则点M的轨迹方程为()A.4x221−4y225=1B.4x221+4y225=1C.4x225−4y221=1D.4x225+4y221=1解析由圆的方程可知,圆心C(-1,0),半径等于5,设点M的坐标为(x,y), AQ的垂直平分线交CQ于点M,∴|MA|=|MQ|,又|MQ|+|MC|=5,∴|MC|+|MA|=5>|AC|,依据椭圆的定义可得,点M的轨迹是以A,C为焦点,且2a=5,c=1,∴b=√212,故椭圆方程为x2254+y2214=1,即4x225+4y221=1,故选D.答案D8.我们把焦点相同,且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”,已知F1,F2是一对相关曲线的焦点,P是椭圆和双曲线在第一象限的交点,当∠F1PF2=60°时,这一对相关曲线中双曲线的离心率是()A.√3B.√2C.2√33D.2解析设椭圆的长半轴长为a1,椭圆的离心率为e1,则e1=ca1,a1=ce1.双曲线的实半轴长为a,双曲线的离心率为e,e=ca,a=ce,设|PF1|=x,|PF2|=y(x>y>0),则4c2=x2+y2-2xycos60°=x2+y2-xy,当点P被看作是椭圆上的点时,有4c2=(x+y)2-3xy=4a12-3xy,当点P被看作是双曲线上的点时,有4c2=(x-y)2+xy=4a2+xy,两式联立消去xy得4c2=a12+3a2,即4c2=(ce1)2+3(ce)2,所以(1e1)2+3(1e)2=4,又1e1=e,所以e2+3e2=4,整理得e4-4e2+3=0,解得e2=3或e2=1(舍去),所以e=√3,即双曲线的离心率为√3.答案A二、多选题(共4小题,每小题5分,共20分.错选得0分,少选得3分)9.两数1,9的等差中项是a,等比中项是b,则曲线x2a+y2b=1的离心率可能是()A.√105B.2√105C.45D.25解析由题意得a=5,b=±3,当a=5,b=-3时e=√5+3√5=2√105,当a=5,b=3时e=√2√5=√105.答案AB10.若方程x25-t+y2t-1=1所表示的曲线为C,则下面四个命题中正确的是()A.若t<1,则C为双曲线B.若14,t-1<0,此时表示焦点在x轴上的双曲线,所以正确的;对于B,当t=3时,此时方程x2+y2=2表示圆,所以不正确;当方程x25-t+y2t-1=1表示焦点在y轴上椭圆,则满足{5-t>0,t-1>0,5-t
