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第1页共4页线段和的最小值问题学习目标:知识与技能:1.学会利用对称变换，平移变换，旋转变换解决线段和的最小值问题；2.培养学生用运动，变化的观点看待几何图形，帮助学生形成自主的几何变换意识。过程与方法:1.理解三种数学类型中求线段和最小值的实质都是线段共线时的最小；2.通过运用几何模型中求最值问题体会转化思想和数形结合思想。情感与态度:在“互助互动”的学习氛围中培养合作意识和学好数学的自信心。学习重点：利用“两点之间线段最短”这一公理解决线段和的最小值问题。学习难点：1.探索变换的基础，捕捉题目中具备何种变换中的基础信息；2.把“两折线”和“三折线”转直，求出线段和的最小值问题。教学过程：一．导入“牧童放牛的问题”小牧童从A地出发，赶着牛群从河岸边a饮水（河的两岸是平行的直线），然后再到B地，请问怎样选择饮水地点。条件：A,B在直线a的同旁的两个定点问题：在直线a上确定一点P，使得PA+PB的值最小。二.例题选讲例1在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90O，D是BC边的中点，E是AB上的一动点，则EC+ED的最小值为。例2在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，试在AB上找一点P，在BC上取一点M，使CP+PM的值最小，并求出这个最小值。小结：例1、例2中的最小值问题，所涉及到的路径，虽然都是由两条线段连接而成，但是路径中的动点与定点的个数不同，例1中的路径为“定点→动点→定点”，是两个定点一个动点，而例2中的路径是“定点→动点→动点”，是一个定点两个动点，所以两个题的解法有较大差异，例1是根据两点之间线段最短求动点的位置，例2是根据垂线段最短找两个动点的位置。学生练习：1.如图，四边形ABCD是正方形，边长是4，E是BC上一点，且CE＝1，P是对角线BD上任一点，则PE＋PC的最小值是___BCPC/AMABaABaACBDEp第2页共4页__________。2.如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上一个动点，M、N分别是AB，BC边上的中点，PM＋PN的最小值是（）A.2B.1C.D.3、如图，对于动点Q（1，n），求PQ+QB的最小值.例3：已知二次函数图像的顶点坐标为C(3，-2)，且在x轴上截得的线段AB的长为4，在y轴上有一点P，使△APC的周长最小，求P点坐标。例4：抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-4，3)，B(2，0)，当x=3和x=-3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等，经过点C(0，-2）的直线a与x轴平行。（1）求直线AB和抛物线函数表达式，（2）设直线AB上点D的横坐标为-1，P(m，n)是抛物线上的一动点，当△POD的周长最小时，求P点坐标。小结：例3，例4中最小值问题，所涉及到的路径虽然都是有两条动线段连接而成，且路径都是“定点→动点→定点”，但是动点运动的路线不同，例3是直线，例4是曲线，因此它们的解法有很大不同，例3是根据两点之间线段最短找到动点的位置，例4是根据垂线段最短找到所求的两个动点的位置。学生练习：1、已知在对抛物线的对称轴上存在一点P，使得△PBC的周长最小，请求出点P的坐标.第3页共4页2.如图，∠AOB=45°，角内有一动点P，PO=10，在AO，BO上有两动点Q，R，求△PQR周长的最小值。例5在x轴、y轴上是否分别存在点M、N,使得四边形MNFE的周长最小？如果存在,求出周长的最小值;如果不存在,请说明理由.例6：在平面直角坐标系中，Rt△AOB的顶点坐标分别是A(-2，0)，O(0,0)，B(0，4），把△AOB绕O点按顺时针旋转90度，得到△COD，（1）求C、D的坐标，（2）求经过第4页共4页A、B、D三点的抛物线。（3）在（2）中的抛物线的对称轴上取两点E、F（E在F点的上方），且EF=1，当四边形ACEF的周长最小时，求E、F的坐标。小结：例5、例6中的最小值问题所涉及到的路径，虽然都是由三条动线段连接而成，且路径都是“定点→动点→动点→定点”，但是例5中的量动点间的线段长度不确定，而例6的两动点间的线段长度为定值，正是由于这点的不同，使得它们的解题方法有很大差异，例5是根据两点之间线段最短找到动点的位置，例6是通过构造平行四边形先找到所求的其中一个动点的位置，另一个位置也随之确定。学生练习：如图,四边形ABCD是正方形,△ABE是等边三角形,M为对角线BD（不含B点）上任意一点,将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN、AM、CM.⑴求证：△AMB≌△ENB；⑵①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；