“数列”双基过关检测一、选择题1．已知等差数列{an}满足：a3＝13，a13＝33，则数列{an}的公差为()A．1B．2C．3D．4解析：选B设等差数列{an}的公差为d，则d＝＝＝2，故选B.2．(2017·江西六校联考)在等比数列{an}中，若a3a5a7＝－3，则a2a8＝()A．3B.C．9D．13解析：选A由a3a5a7＝－3，得a＝－3，故a2a8＝a＝3.3．在数列{an}中，已知a1＝2，a2＝7，an＋2等于anan＋1(n∈N*)的个位数，则a2015＝()A．8B．6C．4D．2解析：选D由题意得a3＝4，a4＝8，a5＝2，a6＝6，a7＝2，a8＝2，a9＝4，a10＝8.所以数列中的项从第3项开始呈周期性出现，周期为6，故a2015＝a335×6＋5＝a5＝2.4．已知数列{an}满足a1＝1，an＝an－1＋2n(n≥2)，则a7＝()A．53B．54C．55D．109解析：选Ca2＝a1＋2×2，a3＝a2＋2×3，……，a7＝a6＋2×7，各式相加得a7＝a1＋2(2＋3＋4＋…＋7)＝55.故选C.5．设数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n∈N*)，则S6＝()A．44B．45C.×(46－1)D.×(45－1)解析：选B由an＋1＝3Sn得a2＝3S1＝3.当n≥2时，an＝3Sn－1，则an＋1－an＝3an，n≥2，即an＋1＝4an，n≥2，则数列{an}从第二项起构成等比数列，所以S6＝＝＝45，故选B.6．(2017·河南中原名校摸底)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S11＝22，则a3＋a7＋a8＝()A．18B．12C．9D．6解析：选D设等差数列{an}的公差为d，由题意得S11＝＝＝22，即a1＋5d＝2，所以a3＋a7＋a8＝a1＋2d＋a1＋6d＋a1＋7d＝3(a1＋5d)＝6，故选D.7．(2017·哈尔滨模拟)在等比数列{an}中，若a1<0，a2＝18，a4＝8，则公比q等于()A.B.C．－D.或－解析：选C由解得或又a1<0，因此q＝－.8．设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则a11＋a12＋a13＝()A．75B．90C．105D．120解析：选Ca1＋a2＋a3＝15⇒3a2＝15⇒a2＝5，a1a2a3＝80⇒(a2－d)a2(a2＋d)＝80，将a2＝5代入，得d＝3(d＝－3舍去)，从而a11＋a12＋a13＝3a12＝3(a2＋10d)＝3×(5＋30)＝105.二、填空题9．已知数列{an}的通项公式an＝则a3a4＝________.解析：由题意知，a3＝2×3－5＝1，a4＝2×34－1＝54，∴a3a4＝54.答案：5410．(2016·宁夏吴忠联考)等比数列的首项是－1，前n项和为Sn，如果＝，则S4的值是________．解析：由已知得＝＝1＋q5＝，故q5＝－，解得q＝－，S4＝＝－.答案：－11．(2016·潍坊一模)已知数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式an＝________.解析：当n＝1时，a1＝S1＝a1＋，∴a1＝1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，∴＝－.∴数列{an}为首项a1＝1，公比q＝－的等比数列，故an＝n－1.答案：n－1三、解答题12．(2017·德州检测)已知等差数列的前三项依次为a,4,3a，前n项和为Sn，且Sk＝110.(1)求a及k的值；(2)设数列{bn}的通项bn＝，证明数列{bn}是等差数列，并求其前n项和Tn.解：(1)设该等差数列为{an}，则a1＝a，a2＝4，a3＝3a，由已知有a＋3a＝8，得a1＝a＝2，公差d＝4－2＝2，所以Sk＝ka1＋·d＝2k＋×2＝k2＋k.由Sk＝110，得k2＋k－110＝0，解得k＝10或k＝－11(舍去)，故a＝2，k＝10.(2)由(1)得Sn＝＝n(n＋1)，则bn＝＝n＋1，故bn＋1－bn＝(n＋2)－(n＋1)＝1，即数列{bn}是首项为2，公差为1的等差数列，所以Tn＝＝.13．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝4an－3(n∈N*)．(1)证明：数列{an}是等比数列；(2)若数列{bn}满足bn＋1＝an＋bn(n∈N*)，且b1＝2，求数列{bn}的通项公式．解：(1)证明：当n＝1时，a1＝4a1－3，解得a1＝1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4an－4an－1，整理得an＝an－1，又a1＝1≠0，∴{an}是首项为1，公比为的等比数列．(2)由(1)知an＝n－1，∵bn＋1＝an＋bn(n∈N*)，∴bn＋1－bn＝n－1.当n≥2时，可得bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)＝2＋＝3n－1－1，当n＝1时，上式也成立，∴数列{bn}的通项公式为bn＝3n－1－1.14．设数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，满足Tn＝2Sn－n2，n∈N*.(1)求a1的值；(2)求数列{an}的通项公式．解：(1)令n＝1，T1＝2S1－1，∵T1＝S1＝a1，∴a1＝2a1－1，∴a1＝1.(2)n≥2时，Tn－1＝2Sn－1－(n－1)2，则Sn＝Tn－Tn－1＝2Sn－n2－[2Sn－1－(n－1)2]＝2(Sn－Sn－1)－2n＋1＝2an－2n＋1.因为当n＝1时，a1＝S1＝1也满足上式，所以Sn＝2an－2n＋1(n≥1)，当n≥2时，Sn－1＝2an－1－2(n－1)＋1，两式相减得an＝2an－2an－1－2，所以an＝2an－1＋2(n≥2)，所以an＋2＝2(an－1＋2)，因为a1＋2＝3≠0，所以数列{an＋2}是以3为首项，公比为2的等比数列．所以an＋2＝3×2n－1，∴an＝3×2n－1－2，当n＝1时也成立，所以an＝3×2n－1－2.
