学业分层测评(十三)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．椭圆＋＝1的焦点坐标为()A．(5,0)，(－5,0)B．(12,0)，(－12,0)C．(0,12)，(0，－12)D．(13,0)，(－13,0)【解析】∵a2＝169，b2＝25，∴c2＝169－25＝144，∴c＝12，又∵焦点在x轴上，∴焦点为(12,0)，(－12,0)．【答案】B2．对于常数m，n，“mn＞0”是“方程mx2＋ny2＝1的曲线是椭圆”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．即不充分也不必要条件【解析】mn＞0，若m＝n则mx2＋ny2＝1不是椭圆．若方程mx2＋ny2＝1是椭圆则“mn＞0一定成立．”【答案】B3．过点(3，－2)且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的方程是()A.＋＝1B．＋＝1C.＋＝1D．＋＝1【解析】椭圆＋＝1的焦点在x轴上，且c2＝5.设所求的椭圆方程为＋＝1，将(3，－2)代入方程得＋＝1，解得a2＝15，故所求椭圆方程为＋＝1.【答案】A4．已知A(0，－1)、B(0,1)两点，△ABC的周长为6，则△ABC的顶点C的轨迹方程是()A.＋＝1(x≠±2)B．＋＝1(y≠±2)C.＋＝1(x≠0)D．＋＝1(y≠0)【解析】∵2c＝|AB|＝2，∴c＝1，∴|CA|＋|CB|＝6－2＝4＝2a，∴顶点C的轨迹是以A、B为焦点的椭圆(A、B、C不共线)．因此，顶点C的轨迹方程＋＝1(y≠±2)．【答案】B5．若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是()【导学号：32550066】A．a＞3B．a＜－2C．a＞3或a＜－2D．a＞3或－6＜a＜－2【解析】由于椭圆焦点在x轴上，∴即⇔a＞3或－6＜a＜－2.故选D.【答案】D二、填空题6．椭圆＋＝1的焦距是2，则m的值是________．1【导学号：32550067】【解析】当m＞4时，m－4＝1，∴m＝5.当0＜m＜4时，4－m＝1，∴m＝3.【答案】3或57．若方程＋＝1表示椭圆，则k的取值范围是________．【解析】若方程＋＝1表示椭圆．则，∴2＜k＜6且k≠4.【答案】(2,4)∪(4,6)8．在平面直角坐标系中，A(4,0)，B(－4,0)，且＝，则△ABC的顶点C的轨迹方程为________．【解析】由正弦定理，得＝，又|AB|＝8，∴|BC|＋|AC|＝10.由椭圆定义可知，点C的轨迹是以点A、B为焦点的椭圆．又∵a＝×10＝5，c＝×8＝4，∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.又∵点A、B、C不共线，∴点C的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．【答案】＋＝1(y≠0)三、解答题9．已知椭圆的中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，且过点A(－4,3)．若F1A⊥F2A，求椭圆的标准方程．【解】设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．设焦点F1(－c,0)，F2(c,0)(c＞0)．∵F1A⊥F2A，∴F1A·F2A＝0，而F1A＝(－4＋c,3)，F2A＝(－4－c,3)，∴(－4＋c)·(－4－c)＋32＝0，∴c2＝25，即c＝5.∴F1(－5,0)，F2(5,0)．∴2a＝|AF1|＋|AF2|＝＋＝＋＝4.∴a＝2，∴b2＝a2－c2＝(2)2－52＝15.∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.10．在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝2，AC＝，曲线E过C点，动点P在E上运动，且保持|PA|＋|PB|的值不变，求曲线E的方程．【解】如图，以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，在Rt△ABC中，BC＝＝，∵|PA|＋|PB|＝|CA|＋|CB|＝＋＝2，且|PA|＋|PB|＞|AB|，∴由椭圆定义知，动点P的轨迹E为椭圆，且a＝，c＝1，b＝1.∴所求曲线E的方程为＋y2＝1.2[能力提升]1．已知曲线C：＋＝－1，则“4≤k＜5”是“曲线C表示焦点在y轴上的椭圆”的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】将曲线C的方程化为：＋＝1，若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则有k－3＞5－k＞0，即4＜k＜5，故“4≤k＜5”是“曲线C表示焦点在y轴上的椭圆”的必要不充分条件．【答案】A2．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP·FP的最大值为()A．2B．3C．6D．8【解析】设P(x0，y0)，则＋＝1，即y＝3－.又∵F(－1,0)，∴OP·FP＝x0·(x0＋1)＋y＝x＋x0＋3＝(x0＋2)2＋2.又x0∈[－2,2]，∴(OP·FP)∈[2,6]，∴(OP·FP)max＝6.【答案】C3．已知椭圆＋y2＝1的焦点为F1，F2，设P(x0，y0)为椭圆上一点，当∠F1PF2为直角时，点P的横坐标x0＝________.【解析】由题意知F1(2,0)，F2(－2,0)，F1P＝(x0－2，y0)F2P＝(x0＋2，y0)，∵∠F1PF2＝90°，∴F1P·F2P＝(x0－2)(x0＋2)＋y＝0，又∵y＝1－，∴x－4＋1－＝0，∴x0＝±.【答案】±4．设M(x，y)是椭圆＋＝1上的任意一点，求x＋y的最值．【解】设x＝4cosθ，y＝3sinθ，θ∈，则x＋y＝4cosθ＋3sinθ＝5sin(θ＋φ)，其中tanφ＝.∵sin(θ＋φ)∈，∴x＋y∈[－5,5]．∴(x＋y)min＝－5，(x＋y)max＝5.3
