2.5.2椭圆的几何性质课后篇巩固提升基础达标练1.过椭圆x24+y23=1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为()A.8,6B.4,3C.2,√3D.4,2√3解析由题意知a=2,b=√3,c=1,最长弦过两个焦点,长为2a=4,最短弦垂直于x轴,长度为当x=c=1时,纵坐标的绝对值的2倍为3.答案B2.(多选)已知椭圆x2a2+y2b2=1与椭圆x225+y216=1有相同的长轴,椭圆x2a2+y2b2=1的短轴长与椭圆y221+x29=1的短轴长相等,则下列结论不正确的有()A.a2=25,b2=16B.a2=9,b2=25C.a2=25,b2=9或a2=9,b2=25D.a2=25,b2=9解析椭圆x225+y216=1的长轴长为10,椭圆y221+x29=1的短轴长为6,由题意可知椭圆x2a2+y2b2=1的焦点在x轴上,即有a=5,b=3.答案ABC3.椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的2倍,则m的值为()A.12B.14C.2D.4解析椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上,半短轴长为1,长轴长是短轴长的2倍,故√1m=2,解得m=14.答案B4.(多选)如图,椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和左焦点,且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心.设椭圆Ⅰ与Ⅱ的半长轴长分别为a1和a2,半焦距分别为c1和c2,离心率分别为e1,e2,则下列结论正确的是()A.a1+c1>2(a2+c2)B.a1-c1=a2-c2C.a1c2>a2c1D.e1=e2+12解析由题图知,a1=2a2,c1>2c2,∴a1+c1>2(a2+c2),2a1c2<2a2c1,即a1c2
9时,a2=k+8,b2=9,e2=c2a2=a2-b2a2=k-1k+8=14,解得k=4.(2)若焦点在y轴上,即0b>0),椭圆C的面积为S=πab=20π,又e=√1-b2a2=45,解得a2=1003,b2=12,所以椭圆C的方程为y21003+x212=1.答案y21003+x212=18.已知椭圆C:4x2+9y2=36.求椭圆的长轴长,焦点坐标和离心率.解椭圆C:4x2+9y2=36的标准方程为x29+y24=1,所以a=3,b=2,c=√a2-b2=√9-4=√5,所以椭圆的长轴长2a=6,焦点坐标(-√5,0),(√5,0),离心率e=ca=√53.9.(1)求与椭圆x29+y24=1有相同的焦点,且离心率为√55的椭圆的标准方程;(2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8,两个顶点坐标分别是(-6,0),(6,0),求焦点在x轴上的椭圆的标准方程.解(1) c=√9-4=√5,∴所求椭圆的焦点为(-√5,0),(√5,0).设所求椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0). e=ca=√55,c=√5,∴a=5,b2=a2-c2=20,∴所求椭圆的方程为x225+y220=1.(2) 椭圆的焦点在x轴上,∴设它的标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0), 2c=8,∴c=4,又a=6,∴b2=a2-c2=20.∴椭圆的方程为x236+y220=1.能力提升练1.已知椭圆x24+y2=1,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,点P为椭圆上的任意一点,则1|PF1|+1|PF2|的取值范围为()A.[1,2]B.[√2,√3]C.[√2,4]D.[1,4]解析根据椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a=4,设m=|PF1|,n=|PF2|,则m+n=4,m,n∈[a-c,a+c],即m,n∈[2-√3,2+√3],则1|PF1|+1|PF2|=1m+1n=4m(4-m)=4-(m-2)2+4∈[1,4].答案D2.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于45,则椭圆E的离心率的取值范围是()A.(0,√32]B.(0,34]C.[√32,1)D.[34,1)解析设左焦点为F0,连接F0A,F0B,则四边形AFBF0为平行四边形. |AF|+|BF|=4,∴|AF|+|AF0|=4,∴a=2.设M(0,b),则4b5≥45,∴1≤b<2.离心率e=ca=√c2a2=√a2-b2a2=√4-b24∈(0,√32],故选A.答案A3.(多选)我们通常称离心率为√5-12的椭圆为“黄金椭圆”.如图,已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),A1,A2,B1,B2为顶点,F1,F2为焦点,P为椭圆上一点,满足下列条件能使椭圆...
