《2.4-正态分布》导学案2VIP专享VIP免费

《2.4正态分布》导学案2【课标要求】1．利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．2．了解变量落在区间(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]内的概率大小．3．会用正态分布去解决实际问题．【核心扫描】1．正态分布曲线的特点及其所表示的意义．(重点)2．正态分布中参数μ，σ的意义及其对正态分布曲线形状的影响．(易混点)3．利用正态分布解决实际问题．(难点)自学导引1．正态曲线的概念正态总体函数φμ，σ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)，其中μ表示总体平均值，σ表示标准差，函数的图象叫正态分布密度曲线，简称正态曲线．特例：当μ＝0，σ＝1时，函数表达式是f(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)，相应的曲线称为标准正态曲线．想一想：函数φμ，σ(x)中参数μ，σ的意义是什么？提示参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计．2．正态分布(1)一般地，若对于任何实数，a，b(a＜b)，随机变量X满足P(a＜X≤b)＝φμ，σ(x)dx，则称X服从正态分布．(2)正态分布记作：N(μ，σ2)，若X服从正态分布，记作X～N(μ，σ2)．正态分布完全由参数μ和σ确定，若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2，＝σ.想一想：若随机变量X～N(μ，σ2)，则X是离散型随机变量吗？提示若X～N(μ，σ2)，则X不是离散型随机变量，由正态分布的定义：P(a＜X≤b)＝φμ，σ(x)dx可知，X可取(a，b]内的任何值，故X不是离散型随机变量，它是连续型随机变量．3．正态曲线的特点正态曲线φμ，σ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)有以下性质：(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；(2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；(3)曲线在x＝μ处达到峰值；(4)曲线与x轴之间的面积为1；(5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．试一试：如图是当σ取三个不同值σ1，σ2，σ3的三种正态曲线N(0，σ2)图象，那么σ1，σ2，σ3的大小关系如何？提示当μ＝0，σ＝1时，正态曲线f(x)＝e－在x＝0时取最大值，故σ2＝1，由正态曲线的性质，当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，σ越大，曲线越“矮胖”，于是有σ1＜σ2＝1＜σ3.故σ1＜σ2＜σ3.4．正态分布的3σ原则(1)正态总体在三个特殊区间内取值的概率P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682_6，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954_4，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997_4.(2)3σ原则在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值，并简称之为3σ原则．正态总体几乎取值于区间(μ－3σ，μ＋3σ)之内，而在此区间外取值的概率只有0.0026，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．试一试：已知随机变量X～N(0,1)，你能求出X在区间(－3，＋∞)内取值的概率吗？提示由X～N(0,1)可知，μ＝0，σ＝1.结合密度函数的图象可知P(X≥－3)＝P(－3≤X≤3)＋＝0.9987.名师点睛1．正态曲线正态曲线指的是一个函数的图象，这个函数就是总体的概率密度函数，其解析式是φμ，σ(x)＝e－.对于这个函数解析式，要注意下面几点：(1)函数的自变量是x，定义域是R，即x∈(－∞，＋∞)．(2)解析式中含有两个常数：π和e，这是两个无理数，其中π是圆周率，e是自然对数的底数，即自然常数．(3)解析式中含有两个参数：μ和σ.其中μ可取任意实数；σ＞0.在不同的正态分布中μ、σ的取值是不同的，这是正态分布的两个特征数．(4)解析式中前面有一个系数，后面是一个以e为底数的指数函数的形式，幂指数为－，其中σ这个参数在解析中的两个位置上出现，注意两者的一致性．2．正态分布(1)正态分布定义中的式子实际是指随机变量X的取值区间在(a，b]上的概率等于总体密度函数在[a，b]上的定积分值．也就是指随机变量X的取值区间在(a，b]上时的概率等于正态曲线与直线x＝a，x＝b以及x轴所围成的封闭图形的面积．(2)正态分布是自然界最常见的一种分布，例如...