1.2类比推理课时过关·能力提升1.已知Rt△ABC的两条直角边长分别为a,b,则其面积S¿12ab.若三棱锥P−ABC的三条侧棱PA,PB,PC两两互相垂直,且PA=a,PB=b,PC=c,类比上述结论可得此三棱锥的体积VP−ABC等于()A.12abcB.13abcC.16abcD.abc答案:C2.已知{bn}为等比数列,b5=2,则b1b2b3…b9=29.若{an}为等差数列,a5=2,则关于{an}的类似结论为()A.a1a2a3…a9=29B.a1+a2+…+a9=29C.a1a2…a9=2×9D.a1+a2+…+a9=2×9解析:类比等比数列{bn}中b1b2b3…b9¿b59,可得在等差数列{an}中有a1+a2+…+a9=9a5=9×2.答案:D3.在平面直角坐标系内,方程xa+yb=1表示在x轴、y轴上的截距分别为a,b的直线,拓展到空间,在x轴、y轴、z轴上的截距分别为a,b,c¿≠0)的直线方程为()A.xa+yb+zc=11B.xab+ybc+zac=1C.xyab+yzbc+zxac=1D.ax+by+cz=1解析:由类比推理知,方程应为xa+yb+zc=1.答案:A4.如图,面积为S的平面凸四边形的第i条边的长记为ai(i=1,2,3,4),此四边形内任一点P到第i条边的距离记为hi(i=1,2,3,4),若a11=a22=a33=a44=k,则∑i=14(ihi)=2Sk.类比上述性质,体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为Si(i=1,2,3,4),此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为Hi(i=1,2,3,4),若S11=S22=S33=S44=K,则∑i=14(iHi)等于()A.4VKB.3VKC.2VKD.VK答案:B5.若数列{an}(n∈N+)是等差数列,则通项公式为bn¿a1+a2+a3+…+ann¿∈N+)的数列{bn}也是等差数列.类比上述性质,相应地:2若数列{cn}(n∈N+)是等比数列,且cn>0,则通项公式为Dn=(n∈N+)的数列{Dn}也是等比数列.答案:n√c1c2c3…cn6.类比以(0,0)为圆心、以r为半径的圆的方程为x2+y2=r2,写出以(0,0,0)为球心、以r为半径的球面的方程为.解析:将平面方程推广到空间中需用三维坐标,即空间中球面上的一点P的坐标为(x,y,z),由P到球心的距离等于半径可得x2+y2+z2=r2.答案:x2+y2+z2=r27.在正三角形中,设它的内切圆的半径为r,容易求得正三角形的周长C(r)=6√3r,面积S(r)=3√3r2,发现S'(r)=C(r).这是平面几何中的一个重要发现.请用类比推理的方法猜测空间正四面体中存在的类似结论为.解析:在正四面体中,设它的内切球的半径为r,由等体积法易得四面体的高h=4r.设正四面体的棱长为x,根据正四面体的几何特征可知(√33x)2+(4r)2=x2,解得x=2√6r,则正四面体的表面积和体积分别为:S(r)=4×12×(2√6r)2×sin60°=24√3r2.V(r)¿13×4r×12×(2√6r)2×sin60°=8√3r3.故空间正四面体存在的类似结论为:在正四面体中,设它的内切球的半径为r,容易求得正四面体的表面积S(r)=24√3r2,体积V(r)=8√3r3,发现V'(r)=S(r).答案:在正四面体中,设它的内切球的半径为r,容易求得正四面体的表面积S(r)=24√3r2,体积V(r)=8√3r3,发现V'(r)=S(r)38.在等比数列{an}中,若前n项之积为Tn,则有T3n¿(T2nTn)3.在等差数列{bn}中,若前n项之和为Sn,用类比的方法得到的结论是¿答案:S3n=3(S2n-Sn)9.★已知点A(x1,ax1¿,B(x2,ax2)是函数y=ax(a>1)的图像上任意不同的两点,依据图像可知,线段AB总是位于A,B两点之间函数图像的上方,因此有结论ax1+ax22>ax1+x22成立.运用类比的思想方法可知,若点A(x1,sinx1),B(x2,sinx2)是函数y=sinx¿∈(0,π))的图像上任意不同的两点,则类似的有成立.解析:依据函数y=sinx(x∈(0,π))的图像可知,线段AB总是位于A,B两点之间函数图像的下方,所以有sinx1+sinx22b>0)具有性质:若A是椭圆的一条与x轴不垂直的弦的中点,则该弦所在直线的斜率等于点A的横坐标、纵坐标的比值与常数−b2a2的积.试对双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)写出类似的性质,并证明.解:若B是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条与x轴不垂直的弦的中点,则该弦所在直线的斜率等于点B的横坐标、纵坐标的比值与常数b2a2的积.证明如下:设弦的端点为M(x1,y1),N(x2,y2)(x1≠x2),MN的中点B(x0,y0),则x1+x2=2x0,y1+y2=2y0.由M,N在双曲线上,得x12a2−y12b2=1,x22a2−y22b2=1,两式左右分别相减,得(x1-x2)·2x0a2−(y1-y2)·2y0b2=0¿≠x2).整理得y1-y2x1-x2=b2·x0a2·y0,即kMN¿x0y0·b2a2.56
