4.1.3导数的概念和几何意义1．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线()．A．不存在B．与x轴平行或重合C．与x轴垂直D．与x轴斜交答案B2．已知函数y＝f(x)的图象如图，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是()．A．f′(xA)>f′(xB)B．f′(xA)kA，即f′(xB)>f′(xA)．答案B3．已知曲线y＝2x2上一点A(2,8)，则在点A处的切线斜率为()．A．4B．16C．8D．2解析在点A处的切线的斜率即为曲线y＝2x2在x＝2时的导数，由导数定义可求y′＝4x.答案C4．抛物线y＝x2＋x＋2上点(1,4)处的切线的斜率是________，该切线方程为________________．解析Δy＝(1＋d)2＋(1＋d)＋2－(12＋1＋2)＝3d＋d2，故y′|x＝1＝lim＝\s\up7(lim)(3＋d)＝3.∴切线的方程为y－4＝3(x－1)，即3x－y＋1＝0.答案33x－y＋1＝05．若曲线y＝x2－1的一条切线平行于直线y＝4x－3，则这条切线方程为________________．解析∵f′(x)＝\s\up7(lim)＝\s\up7(lim)＝\s\up7(lim)＝\s\up7(lim)(2x＋d)＝2x.设切点坐标为(x0，y0)，则由题意知f′(x0)＝4，即2x0＝4，∴x0＝2，代入曲线方程得y0＝3，故该切线过点(2,3)且斜率为4.所以这条切线方程为y－3＝4(x－2)，即4x－y－5＝0.答案4x－y－5＝06．求曲线y＝x3在点(3,27)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积．解∵f′(3)＝\s\up7(lim)＝lim＝lim(d2＋9d＋27)＝27，∴曲线在点(3,27)处的切线方程为y－27＝27(x－3)，即27x－y－54＝0.此切线与x轴、y轴的交点分别为(2,0)，(0，－54)．∴切线与两坐标轴围成的三角形的面积为1S＝×2×54＝54.7．已知函数f(x)在x＝1处的导数为3，则f(x)的解析式可能为()．A．f(x)＝(x－1)2＋3(x－1)B．f(x)＝2(x－1)C．f(x)＝2(x－1)2D．f(x)＝x－1解析分别求四个选项的导函数分别为f′(x)＝2(x－1)＋3；f′(x)＝2；f′(x)＝4(x－1)；f′(x)＝1.答案A8．(2011·重庆)曲线y＝－x3＋3x2在点(1,2)处的切线方程为()．A．y＝3x－1B．y＝－3x＋5C．y＝3x＋5D．y＝2x解析＝－Δx2＋3.Δx→0时，－Δx2＋3→3.∴f′(1)＝3.即曲线在(1,2)处的切线斜率为3.所以切线方程为y－2＝3(x－1)，即y＝3x－1.答案A9．函数y＝f(x)图象在M(1，f(1))处的切线方程为y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________.解析由已知切点在切线上．∴f(1)＝×1＋2＝.切线的斜率f′(1)＝.∴f(1)＋f′(1)＝3.答案310．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程为x－y＋1＝0，则a，b的值分别为________，________.解析∵点(0，b)在切线x－y＋1＝0上，∴－b＋1＝0，b＝1.又＝＝a＋Δx，∴f′(0)＝a＝1.答案1111．已知曲线y＝x3＋1，求过点P(1,2)的曲线的切线方程．解设切点为A(x0，y0)，则y0＝x＋1.＝＝Δx2＋3x0Δx＋3x.∴f′(x0)＝3x，切线的斜率为k＝3x.点(1,2)在切线上，∴2－(x＋1)＝3x(1－x0)．∴x0＝1或x0＝－.当x0＝1时，切线方程为3x－y－1＝0，当x0＝－时，切线方程为3x－4y＋5＝0.所以，所求切线方程为3x－y－1＝0或3x－4y＋5＝0.12．(创新拓展)求垂直于直线2x－6y＋1＝0并且与曲线y＝x3＋3x2－5相切的直线方程．解设切点为P(a，b)，函数y＝x3＋3x2－5的导数为y′＝3x2＋6x.故切线的斜率k＝2y′|x＝a＝3a2＋6a＝－3，得a＝－1，代入y＝x3＋3x2－5得，b＝－3，即P(－1，－3)．故所求直线方程为y＋3＝－3(x＋1)，即3x＋y＋6＝0.3
