课时作业10夹角的计算时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．在如图所示的正方体ABCDA1B1C1D1中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC所成角的余弦值为(D)A．－B．－C．D．解析：以点D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为2，则A(2,0,0)，C(0,2,0)，E(0,1,2)，∴AC＝(－2,2,0)，DE＝(0,1,2)，∴cos〈AC，DE〉＝＝，∴异面直线DE与AC所成角的余弦值为.2．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0，－1,1)，则两平面的夹角为(A)A．45°B．135°C．45°或135°D．90°解析：cos〈m，n〉＝＝＝－，即〈m，n〉＝135°，∴两平面的夹角为180°－135°＝45°.3．若直线l的方向向量和平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α的夹角等于(C)A．120°B．60°C．30°D．以上均错解析： 直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，∴直线l与平面α所成的角为120°的补角60°的余角30°.4．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为(A)A．30°B．60°C．120°D．150°解析：设l与α所成角为θ， cos〈m，n〉＝－，又直线与平面所成角θ满足0°≤θ≤90°，∴sinθ＝|－|.∴θ＝30°.5．已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于(A)A.B.C.D.1解析：设AB＝1，则AA1＝2，分别以D1A1、D1C1、D1D的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如右图所示：则D1(0,0,0)，C1(0,1,0)，B(1,1,2)，C(0,1,2)，D(0,0,2)，DB＝(1,1,0)，DC1＝(0,1，－2)，DC＝(0,1,0)．设n＝(x，y，z)为平面BDC1的一个法向量，则即取n＝(－2,2,1)．设CD与平面BDC1所成角为θ，则sinθ＝||＝.故选A.6．空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈OA，BC〉的值是(D)A．B．C．－D．0解析：如图．设OA＝a，OB＝b，OC＝c，则〈a，b〉＝〈a，c〉＝，|b|＝|c|.cos〈OA，BC〉＝＝＝＝0，故选D.7．如图所示，已知点P为菱形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC中点，则平面CBF与平面DBF夹角的正切值为(D)A.B.C.D.2解析：设AC∩BD＝O，连接OF，以O为原点，OB，OC，OF所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设PA＝AD＝AC＝1，则BD＝，∴B，F，C，D.∴OC＝，且OC为平面BDF的一个法向量．由BC＝，FB＝，可得平面BCF的一个法向量为n＝(1，，)．∴cos〈n，OC〉＝，sin〈n，OC〉＝.∴tan〈n，OC〉＝.8．P是二面角αABβ棱上的一点，分别在α，β平面内引射线PM，PN，如果∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，那么α与β的夹角大小为(D)A．60°B．70°C．80°D．90°解析：如图，设PM＝a，PN＝b，作ME⊥AB，NF⊥AB，则因∠BPM＝∠BPN＝45°，故PE＝，PF＝.于是EM·FN＝(PM－PE)·(PN－PF)＝PM·PN－PM·PF－PE·PN＋PE·PF＝abcos60°－a·cos45°－·bcos45°＋·＝－－＋＝0.因为EM，FN分别是α，β内的与棱AB垂直的两条直线，所以EM与FN的夹角就是α与β的夹角．二、填空题9．若两个平面α，β的法向量分别是u＝(1,0,1)，v＝(－1,1,0)，则这两个平面间的夹角的度数是60°.解析：cos〈u，v〉＝＝＝－.∴两个平面α，β间的夹角为60°.10．已知异面直线m，n的方向向量分别为a＝(2，－1,1)，b＝(1，λ，1)，若异面直线m，n所成角的余弦值为，则λ的值为.解析：由|cos〈a，b〉|＝||＝＝，两边平方，化简得6λ＝7，解得λ＝.11．如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成的角的正弦值为.3解析：不妨设正三棱柱ABCA1B1C1的棱长为2，建立如图所示空间直角坐标系．则C(0，0,0)，A(，－1,0)，B1(，1,2)，D，则CD＝，CB1＝(，1,2)，设平面B1DC的法向量为n＝(x，y,1)，由解得n＝(－，1,1)．又 DA＝，∴sinθ＝|cos〈DA，n〉|＝.三、解答题12．正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，求AC1与侧面ABB1A1的夹角．解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(0，a,0)，A1(0，0，a)，C1(－a，，a)．方法1：取A1B1的中点M，则M(0，，a)，连接AM，MC1，有MC1＝(－a...
