高考数学总复习等差(等比)数列的性质及应用 新课标 人教版VIP免费

高考数学总复习等差(等比)数列的性质及应用【复习目标及教学建议】复习目标：利用等差(比)数列的性质进行有关简捷运算.如：(1)“成对和”相等或“成对积”相等问题.(2)等差数列求和S2n–1与中项an转化问题.(3)分组求和技巧.(4)整体运算..教学建议：本节主要内容是利用等差（比）性质进行简捷运算；通过基础训练题，让学生归纳几种常见简捷运算的方法，在后面的例题中再强化与与提升.【基础训练】1．在等差数列{an}与等比数列{bn}中，下列结论正确的是（C）A．a1+a9=a10，b1·b9=b10B．a1+a9=a3+a6，b1+b9=b3+b6C．a1+a9=a4+a6，b1·b9=b3·b6D．a1+a9=2a5，b1·b9=2b5【解析】当m+n=p+q时，等差数列中有am+an=ap+aq，等比数列中有bm·bn=bp·bq.，但要防止出现A、B、D错误.故选C.2．在等差数列{an}中，前15项和S15=90，a8为（A）A．6B．3C．12D．4【解析】S15==90.又a1+a15=2a8，∴15a8=90，∴a8=6，故选A.【点评】等差数列Sn与a1、an的等差中项有关，而题目中常给出来求Sn.特别地3．等比数列的前n项的和为54，前2n项的和为60，则前3n项的和为（D）A．66B．64C．66D．60【解析】设a1+a2+…+an=A1，an+1+…+a2n=A2，a2n+1+…+a3n=A3.可知A1、A2、A3仍是等比数列，由A1=54，A2=6，得A3=，得S3n=A1+A2+A3=60.故选D【点评】体现“分组”思想.4．设等差数列{an}共有3n项，它的前2n项和为100，后2n项和是200，则该数列的中间n项和等于75.【解析】设前n项和，中间n项和，后n项和分别为A1、、A2、A3，1则①+②：A1、+2A2+A3=300，即4A2=300.∴A2=75.5．等差数列{an}中，S2=S19且公差d＜0，当n=10或11时，Sn最大.【解析】Sn是n二次函数，由a2=a19知对称轴n=9.5故当n=10或11时，Sn最大.6．已知等差数列{an}中，前三项之和为6，末三项和60，Sn=231，则n=21.【解析】前三项+末三项=3(a1+an)=66，a1+an=22，×n=231，n=21.点评：等差求和与“首末等距离的成对和”【知识要点】1．在等差数列{an}中，有（1）若m+n=p+q，其中m、n、p、q∈N*，则一定有am+an=ap+aq；当m+n=2p时，am+an=2ap.（2）若d为{an}的公差，则其子数列为ak，ak+m，ak+2m，…(m∈N*)也成等差数列，且公差为md；（3）间隔等长的连续几项的和构成的新数列仍成为等差数列；（4）前n项和是n的二次函数（常数项为0），即Sn=an2+bn.且a=d，b=a1–d；（5）奇、偶数项分别求和时，有(a2+a4+…+a2n)–(a1+a3+…+a2n–1)=nd，(a1+a3+…+a2n–1)–(a2+a4+…+a2n–2)=an.2．等比数列的部分项构成的等比数列.（1）等比数列中间隔相同的项，仍构成等比数列.如①a1，a3，a5，…，(奇数项).②a2，a4，a6，…，(偶数项).③a1，a4，a7，….④ap，aq，ar(其中p、q、r∈N*，p、q、r成等差数列).（2）等比数列中的部分项之和(或差)可构成等比数列.如：①a1+a2+a3，a2+a3+a4，a3+a4+a5.②a1+a2+a3,a4+a5+a6，a7+a8+a9.③Sk，S2k–Sk，S3k–S2k(k∈N*，Sk为等比数列{an}的前k项和（Sk）④q≠1时，a2–a1，a3–a2，a4–a3等也构成等比数列，且公比为q.【双基固化】1.求最值问题例1若{an}为等差数列，首项a1＞0，a2003+a2004＞0，a2003·a2004＜0.（1）求使Sn＞0的最大自然数n.2①②219n（2）求Sn最大值时的n值.【解析】法一： a1＞0，a2003+a2004＞0，a2003·a2004＜0，且{an}为等差数列.∴{an}表示a1为正数，公差为负数的递减等差数列，且a2003＞0，a2004＜0，|a2003|＞|a2004|，∴S4006=×4006=×4006＞0，而×4007=a2004×4007＜0.∴Sn＞0成立的最大自然数是4006.（2）由已知得：n≤2003时，a1，a2，…，a2003均为正数，n≥2004时，a2004，a2005，…均为负数，故n=2003时，S2003最大.【点评】把an看成n的一次函数，n不加限制的话，要Sn=＞0，即要＞0，题中可得a2003.5＞0，且a2004＜0S4006=a2003.5×4006＞0.而求Sn最大（小）值时即把{an}中所有正（负）项相加，即n出现在数列正负项交界处。2．分组求和，整体运算例2（1）等比数列{an}中q=2，S99=77，求a3+a6+…+a99；（2）等差数列{an}中a9+a10=a，a19+a20=b，求a99+a100.（3）一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为32:27，求公差d.【分析】（1）要求前99项中序号为3的倍...