第2课时数列的递推公式1.已知数列{an},a1=1,an-an-1=n-1(n≥2),则a6等于()A.7B.11C.16D.17解析:由题可知a6=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+(a5-a4)+(a6-a5)=1+1+2+3+4+5=16.答案:C2.数列{an}中,an+1=an+2-an,a1=2,a2=5,则a5等于()A.-3B.-11C.-5D.19解析:由an+1=an+2-an,得an+2=an+1+an.又a1=2,a2=5,∴a3=7,a4=12,a5=19.答案:D3.已知数列{an}中,an-1=man+1(n>1),且a2=3,a3=5,则实数m等于()A.0B.C.2D.5解析:由题意得a2=ma3+1,则3=5m+1,故m=.答案:B4.已知数列{an}满足an+1=an+,则数列{an}是()A.递增数列B.递减数列C.摆动数列D.常数列解析:由an+1=an+,知an+1-an=>0,所以an+1>an,即从第2项起,每一项都大于它的前一项.答案:A5.下图是一系列有机物的结构简图,图中的“小黑点”表示原子,两黑点间的“短线”表示化学键,按图中结构第n个图有化学键()A.6n个B.(4n+2)个C.(5n-1)个D.(5n+1)个解析:各图中的短线依次为6,6+5,6+5+5,…,若视6为5+1,则这个数列为1+5,1+5+5,1+5+5+5,…,于是第n个图的化学键个数应为an=5n+1.答案:D6.已知数列{an}中,a1=1,对所有的n≥2,都有a1a2a3·…·an=n2,则a3+a5=.1解析:由已知得⇒a3=⇒a5=,∴a3+a5=.答案:7.已知数列{an}对任意的p,q∈N*满足ap+q=ap+aq,且a2=-6,则a10=.解析:令p=q=2,则a4=2a2=-12.再令p=4=q,则a8=2a4=-24.再令p=8,q=2,则a10=a8+a2=-30.答案:-308.已知数列{an}满足:an≤an+1,an=n2+λn,n∈N*,则实数λ的最小值是.解析:∵an≤an+1,∴n2+λn≤(n+1)2+λ(n+1),即λ≥-(2n+1)对任意n∈N*成立,∴λ≥-3.答案:-39.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln,求数列{an}的通项公式.解:由an+1=an+ln得,an+1-an=ln=ln=ln(n+1)-lnn.∴a2-a1=ln2-ln1,a3-a2=ln3-ln2,a4-a3=ln4-ln3,…,an-an-1=lnn-ln(n-1)(n≥2).上述各式左、右两边分别相加得an-a1=lnn-ln1,∴an=lnn+a1=2+lnn.10.已知数列{an}满足an=+…+.(1)数列{an}是递增数列还是递减数列?为什么?(2)证明:an≥对一切正整数恒成立.(1)解:数列{an}是递增数列.理由如下:∵an=+…+,∴an+1-an=2=.又n∈N*,∴an+1-an>0.∴数列{an}是递增数列.(2)证明:由(1)知数列{an}为递增数列,∴数列{an}的最小项为a1=.∴an≥a1=,即an≥对一切正整数恒成立.3
