计算机图形学2010-03二维图形变换VIP免费

《计算机图形学》教案：第三章二维几何变换1第三章二维图形变换一、问题二维图形变换，就是对平面图形进行平移、缩放、旋转、对称、错切等变换。点是构成图形的基本要素，各种平面图形都可以基于点来定义。如：两点可定义一条直线段，三点定义三角形，多边形由若干个顶点定义，圆及椭圆可由一个外接矩形来定义。因此，对各种图形的二维变换就可归结为对定义图形的各个点进行的坐标变换。设一个图形由n个点定义，则从图形变换的角度，该图形可表示为一个的矩阵，称为点集矩阵，如下：对图形进行几何变换不会使定义图形的点发生增减，只会使各点的坐标值发生变化，因此，变换后的图形仍可表示为一个的矩阵。因而，可以将图形变换问题视为数学上的一个矩阵变换问题，如下：二、变换矩阵及齐次坐标矩阵变换的形式有多种，这里尝试采用矩阵乘法运算来完成各种几何变换，用原点集矩阵G乘以一个变换矩阵T，得到新点集矩阵G’。即：T是一个二乘二方阵，有：则：图形变换矩阵变换《计算机图形学》教案：第三章二维几何变换2在该变换中，对每个点的变换结果只与该点本身的值相关，与其它点的值无关。则对点集矩阵中的一个点(x,y)，变换结果为：即有：通过矩阵乘法可以有效完成缩放、旋转、对称、错切变换，但无法完成平移变换。平移变换的关系式如下：其中包含有常数项，因而无法通过矩阵乘法来实现。为使矩阵乘法能够有效完成平移变换，将二维点(x,y)扩展表示为(x,y,1)，这种坐标称为二维齐次坐标。相应的，定义图形的点集矩阵则变为的矩阵，如下：变换矩阵也改为3X3的矩阵。由此，对点的矩阵变换如下：二维坐标与二维齐次坐标的相互转换：二维坐标(x,y)——齐次坐标(x,y,1)齐次坐标(x,y,h)——二维坐标(x/h,y/h)采用这种齐次坐标后，就可以有效进行平移变换，同时还可以有效进行一些更为复杂的变换。《计算机图形学》教案：第三章二维几何变换3三、二维基本变换1.比例变换比例变换也即缩放变换。其将点的x和y坐标值各乘一个比例因子。这一变换对应的齐次矩阵变换如下：a和d分别为x方向和y方向的缩放系数。在一般的缩放变换中，有a=d。例：将(10,26),(10,10),(20,10)三点定义的三角形放大2倍。点集矩阵为：变换矩阵为：变换：2.平移变换平移变换即将点的x值和y值各加一个偏移量，如下：《计算机图形学》教案：第三章二维几何变换4这一变换对应的齐次矩阵变换如下：例：将三角形(10,26),(10,10),(20,10)在x方向平移20，在y方向平移10。点集矩阵为：变换矩阵为：变换：3.旋转变换图形绕原点旋转角，逆时针方向为正。设点(x,y)与原点的连线，长度为r，与x轴的夹角为，则旋转后的夹角为。则变换后的坐标为：由于：，《计算机图形学》教案：第三章二维几何变换5所以有：可得矩阵变换式如下：例：将三角形(10,26),(10,10),(20,10)逆时针旋转60度。点集矩阵为：变换矩阵为：变换：四、二维组合变换组合变换就是多个基本变换组合而成的变换。基本变换由一个矩阵乘法完成，多个基本变换的组合，就是连续进行多个矩阵乘法，由于矩阵乘法满足结合律，因此，组合变换可以综合为一个变换矩阵。设组合变换包括三个基本变换，三个基本变换矩阵为T1，T2，T3。组合变换的过程如下：《计算机图形学》教案：第三章二维几何变换6T即为综合变换矩阵，有：绕任意点的旋转变换绕点P(xp,yp)旋转角。分三步完成：（1）平移图形，使点P位于原点；（2）旋转角；（3）反向平移至原来位置。（1）旋转中心点平移到原点变换矩阵：(2)旋转角(3)旋转中心点平移到原来位置组合变换矩阵为：矩阵乘法不适合交换律，因此组合变换中的各个基本变换必须具有一定的次序，不能颠倒。作业：1.写出如下几个基本变换的变换矩阵：(1)在x方向平移8，y方向平移-5；(2)图形放大3倍；(3)绕原点逆时针旋转30度；《计算机图形学》教案：第三章二维几何变换72.分别写出对x轴、y轴、原点作对称变换的变换矩阵。3.对点(3,6)进行对称变换。(1)写出该变换的变换步骤；(2)写出各步变换的基本变换矩阵；(3)计算写出该变换的总变换矩阵。4.将三角形(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)放大到k倍，并使中心点坐标保持不变(中心点的坐标值为三个顶点坐标值的均值)，求变换矩阵。