高中数学 模块复习精要（二）数列 新人教B版必修5-新人教B版高二必修5数学试题VIP专享VIP免费

复习课(二)数列等差数列与等比数列的基本运算数列的基本运算以小题出现具多，但也可作为解答题第一步命题，主要考查利用数列的通项公式及求和公式，求数列中的项、公差、公比及前n项和等，一般试题难度较小．1．等差数列(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d.(2)前n项和公式：Sn＝na1＋d＝.(3)前n项和公式Sn＝n2＋n视为关于n的一元二次函数，开口方向由公差d的正负确定；Sn＝中(a1＋an)视为一个整体，常与等差数列性质结合利用“整体代换”思想解题．2．等比数列(1)通项公式：an＝a1qn－1.(2)前n项和公式：Sn＝(3)等比数列{an}，Sn为其前n项和，则Sn可表示为Sn＝k·qn＋b，(k≠0，且k＋b＝0)．[典例]成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列{bn}中的b3，b4，b5.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)数列{bn}的前n项和为Sn，求证：数列是等比数列．[解](1)设成等差数列的三个正数分别为a－d，a，a＋d.依题意，得a－d＋a＋a＋d＝15，解得a＝5.所以{bn}中的b3，b4，b5依次为7－d,10,18＋d.依题意，(7－d)(18＋d)＝100，解得d＝2或d＝－13(舍去)，∴b3＝5，公比q＝2，故bn＝5·2n－3.(2)证明：由(1)知b1＝，公比q＝2，∴Sn＝＝5·2n－2－，则Sn＋＝5·2n－2，因此S1＋＝，＝＝2(n≥2)．∴数列是以为首项，公比为2的等比数列．[类题通法]在等差(或等比)数列中，首项a1与公差d(或公比q)是两个基本量，一般的等差(或等比)数列的计算问题，都可以设出这两个量求解．在等差数列中的五个量a1，d，n，an，Sn或等比数列中的五个量a1，q，n，an，Sn中，可通过列方程组的方法，知三求二．在利用Sn求an时，要注意验证n＝1是否成立．1．在等比数列{an}中，Sn是它的前n项和，若a2·a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为17，则S6＝()A.B．16C．15D.解析：选A设{an}的公比为q，则由等比数列的性质知，a2a3＝a1a4＝2a1，则a4＝2；由a4与2a7的等差中项为17知，a4＋2a7＝2×17＝34，得a7＝16.∴q3＝＝8，即q＝2，∴a1＝＝，则S6＝＝，故选A.2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＋a8＝13，S7＝35，则a7＝________.解析：设等差数列{an}的公差为d，则由已知得(a1＋2d)＋(a1＋7d)＝13，S7＝＝35.联立两1式，解得a1＝2，d＝1，∴a7＝a1＋6d＝8.答案：83．已知等差数列{an}的公差不为零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比数列．(1)求{an}的通项公式；(2)求a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.解：(1)设{an}的公差为d.由题意，得a＝a1a13，即(a1＋10d)2＝a1(a1＋12d)．于是d(2a1＋25d)＝0.又a1＝25，所以d＝－2或0(舍去)．故an＝－2n＋27.(2)令Sn＝a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.由(1)知a3n－2＝－6n＋31，故{a3n－2}是首项为25，公差为－6的等差数列．从而Sn＝(a1＋a3n－2)＝(－6n＋56)＝－3n2＋28n.等差、等比数列的性质及应用等差、等比数列的性质主要涉及数列的单调性、最值及其前n项和的性质．利用性质求数列中某一项等，试题充分体现“小”“巧”“活”的特点，题型多以选择题和填空题的形式出现，一般难度较小．等差数列的性质等比数列的性质若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则am＋an＝ap＋aq.特别地，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则am·an＝ap·aq.特别地，若m＋n＝2p，则am·an＝aam，am＋k，am＋2k，…仍是等差数列，公差为kdam，am＋k，am＋2k，…仍是等比数列，公比为qk若{an}，{bn}是两个项数相同的等差数列，则{pan＋qbn}仍是等差数列若{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则{pan·qbn}仍是等比数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…是等差数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…是等比数列(q≠－1或q＝－1且k为奇数)若数列{an}项数为2n，则S偶－S奇＝nd，＝若数列{an}项数为2n，则＝q若数列{an}项数为2n＋1，则S奇－S偶＝an＋1，＝若数列{an}项数为2n＋1，则＝q[典例](1)已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示数列{an}的前n项和，则使得Sn取得最大值的n是()A．21B．20C．19D．18(2)记等比数列{an}的前n项积为Tn(n∈N＋)，已知am－1am＋1－2am＝0，且T2m－1＝128，则m＝________.[解析](1)由a1＋a3＋a5＝105得，3a3＝105，∴a3＝35.同理可得a4＝33，∴d...