学业分层测评(十六)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．过抛物线y＝ax2(a＞0)的焦点F作一直线交抛物线于A、B两点，若线段AF、BF的长分别为m，n，则等于()A.B．C．2aD．【解析】抛物线y＝ax2(a＞0)的标准方程x2＝y∴2p＝，p＝，∴＋＝＝4a∴＝＝.【答案】B2．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，曲线y＝(k＞0)与C交于点P，PF⊥x轴，则k＝()A.B．1C．D．2【解析】 y2＝4x，∴F(1,0)．又 曲线y＝(k＞0)与C交于点P，PF⊥x轴，∴P(1,2)．将点P(1,2)的坐标代入y＝(k＞0)得k＝2.故选D.【答案】D3．设O是坐标原点，F是抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，A是抛物线上的一点，FA与x轴正向的夹角为60°，则|OA|为()A.pB．pC.pD．p【解析】如图所示，设A(x0，y0)，|FB|＝m， ∠AFB＝60°，∴|AF|＝2m，|AB|＝m，∴由抛物线的定义|AF|＝x0＋＝m＋p∴2m＝m＋p，∴m＝p，∴A，∴|OA|＝＝＝p.【答案】B4．过点P(4,4)与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线有()A．0条B．1条C．2条D．3条【解析】当直线斜率不存在时，直线与抛物线有两个不同交点，不符合题意，故设直线1方程为y－4＝k(x－4)，由得：ky2－2y＋8－8k＝0.当k＝0时，解得：y＝4，故直线与抛物线交于点(8,4)，当k≠0时，由Δ＝4－4k(8－8k)＝0得：k＝，故有两条直线与抛物线相切，故符合条件的直线有3条．【答案】D5．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若FA＋FB＋FC＝0，则|FA|＋|FB|＋|FC|＝()A．9B．6C．4D．3【解析】设A(xA，yA)，B(xB，yB)，C(xC，yC)，由FA＋FB＋FC＝0，得xA＋xB＋xC＝3.∴|FA|＋|FB|＋|FC|＝xA＋＋xB＋＋xC＋＝3＋p＝3＋×2＝6.【答案】B二、填空题6．已知抛物线的离心率为e，焦点为(0，e)，则抛物线的标准方程为________．【解析】由e＝1，得焦点为(0,1)，∴抛物线的标准方程为x2＝4y.【答案】x2＝4y7．已知A(2,0)，点B为抛物线y2＝x上的一点，求|AB|的最小值为________．【解析】设点B(x，y)，则x＝y2≥0，所以|AB|＝＝＝＝，所以当x＝时，|AB|取得最小值，且|AB|的最小值为.【答案】8．已知定点A(－3,0)，B(3,0)，动点P在抛物线y2＝2x上移动，则PA·PB的最小值等于________．【导学号：32550080】【解析】设P(x0，y0)则y＝2x0，x0≥0，∴PA·PB＝(－3－x0，－y0)·(3－x0，－y0)＝x＋y－9＝x＋2x0－9，当x0＝0时，PA·PBmin＝－9.【答案】－9三、解答题9．抛物线的顶点在原点，对称轴是椭圆＋＝1短轴所在的直线，抛物线的焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及准线方程．【解】 椭圆＋＝1的短轴在x轴上，∴抛物线的对称轴为x轴．设抛物线的标准方程为y2＝2px或y2＝－2px(p＞0)， 抛物线的焦点到顶点的距离为3，∴＝3，即p＝6.2∴抛物线的方程为y2＝12x或y2＝－12x，准线方程分别为x＝－3或x＝3.10．若抛物线y2＝2px(p>0)上有一点M到准线及对称轴的距离分别为10和6，求点M的横坐标．【解】 点M到对称轴的距离为6，∴设点M的坐标为(x，±6)． 点M到准线的距离为10，∴解得或，即点M的横坐标为1或9.[能力提升]1．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O为原点，若|AF|＝3，则△AOB的面积为()A.B．C.D．2【解析】设∠AFx＝θ(0＜θ＜π)及|BF|＝m，则点A到准线l：x＝－1的距离为3，得3＝2＋3cosθ，则cosθ＝.又m＝2＋mcos(π－θ)，则m＝＝，所以△AOB的面积为S△AOB＝|OF|·|AB|·sinθ＝×1×(3＋)×＝.【答案】C2．如图322，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为()图322A．y2＝9xB．y2＝6xC．y2＝3xD．y2＝x【解析】如图，分别过A，B作AA1⊥l于点A1，BB1⊥l于点B1，由抛物线的定义知：|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|， |BC|＝2|BF|，∴|BC|＝2|BB1|，∴∠BCB1＝30°，∴∠AFx＝60°，连接A1F，则△AA1F为等边三角形，过点F作FF1⊥AA1于点F1，则F1为AA1的中点，设l交x轴于点K，则|KF|＝|A1F1|＝|AA1|＝|AF|，即p＝，∴抛物线方程为y2＝3x，故选C.【答案】C3．已知定点Q(2，－1)，F为抛物线y2＝4x的焦点，动点P为抛物线上任意一点，当|PQ|＋|PF|取最小值时，P的坐标为________．【解析】设点P在准线上...
